Escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função:
. - O ponto onde queremos a tangente:
. - O que se pede: a equação da reta tangente ao gráfico de
em , ou seja, a reta que toca o gráfico nesse ponto e tem a mesma inclinação (derivada) de ali.
Passo 2
Verificar que o ponto dado pertence ao gráfico (confiança de que os dados batem).
Calcular :
Calcular
Portanto o ponto
realmente está sobre o gráfico de
. Bom sinal — tudo consistente.
Passo 3
Explicar como obter a inclinação da reta tangente: precisamos da derivada
e, em seguida, do valor
.
Mini-aula (fórmula usada): para funções da forma
, com
constante e
função diferenciável, é conveniente reescrever usando a exponencial natural:
A derivada da função exponencial composta
é dada pela regra da cadeia:
Aplicando isso a
obtemos
Aqui:
-
é a base da exponencial ( no nosso caso), -
é o expoente visto como função de , -
é a derivada de em relação a , -
denota o logaritmo natural.
Passo 4
Aplicar essa fórmula ao nosso caso. Identificar
:
Calcular
:
Passo 5
Calcular
usando a fórmula da derivada da exponencial:
Agora avaliar em
:
Portanto a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente em
é
.
Passo 6
Escrever a equação da reta tangente. Usar a forma ponto-inclinação da reta: para uma reta tangente no ponto
com inclinação
vale
Substituindo
,
e
, obtemos a forma ponto-inclinação da reta tangente:
Passo 7
Opcional: passar para a forma explícita
. Desenvolvendo a expressão: