Escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função t(x)=2^{3 x-1} no ponto (1,4).

Passo 1

O enunciado dá a função t(x)=2^{3x-1} e pede a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto (1,4).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função: t(x)=2^{3x-1}.
  • O ponto onde queremos a tangente: (x_0,y_0)=(1,4).
  • O que se pede: a equação da reta tangente ao gráfico de t em x=1, ou seja, a reta que toca o gráfico nesse ponto e tem a mesma inclinação (derivada) de t ali.

Passo 2

Verificar que o ponto dado pertence ao gráfico (confiança de que os dados batem).
Calcular t(1):
t(1)=2^{3\cdot 1-1}=2^{2}=4.
Portanto o ponto (1,4) realmente está sobre o gráfico de t. Bom sinal — tudo consistente.

Passo 3

Explicar como obter a inclinação da reta tangente: precisamos da derivada t'(x) e, em seguida, do valor t'(1).
Mini-aula (fórmula usada): para funções da forma a^{u(x)}, com a>0 constante e u(x) função diferenciável, é conveniente reescrever usando a exponencial natural:
a^{u(x)}=e^{u(x)\ln a}.
A derivada da função exponencial composta e^{v(x)} é dada pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}e^{v(x)}=e^{v(x)}\cdot v'(x).
Aplicando isso a a^{u(x)} obtemos
\frac{d}{dx}a^{u(x)}=a^{u(x)}\ln a\cdot u'(x).
Aqui:
  • a é a base da exponencial ( a=2 no nosso caso),
  • u(x) é o expoente visto como função de x,
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x,
  • \ln denota o logaritmo natural.

Passo 4

Aplicar essa fórmula ao nosso caso. Identificar u(x):
u(x)=3x-1.
Calcular u'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}(3x-1)=3.

Passo 5

Calcular t'(x) usando a fórmula da derivada da exponencial:
t'(x)=\frac{d}{dx}2^{3x-1}=2^{3x-1}\ln 2\cdot 3 = 3\ln 2\;2^{3x-1}.
Agora avaliar em x=1:
t'(1)=3\ln 2\;2^{3\cdot1-1}=3\ln 2\;2^{2}=3\ln 2\cdot 4=12\ln 2.
Portanto a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente em x=1 é m=12\ln 2.

Passo 6

Escrever a equação da reta tangente. Usar a forma ponto-inclinação da reta: para uma reta tangente no ponto (x_0,y_0) com inclinação m vale
y-y_0=m(x-x_0).
Substituindo x_0=1, y_0=4 e m=12\ln 2, obtemos a forma ponto-inclinação da reta tangente:
y-4=12\ln 2\,(x-1).

Passo 7

Opcional: passar para a forma explícita y=mx+b. Desenvolvendo a expressão:
y-4=12\ln 2\,x-12\ln 2
y=12\ln 2\,x +4-12\ln 2.

Resposta

y-4=12\ln 2\,(x-1)
y=12\ln 2\,x +4-12\ln 2

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