EXEMPLO 8. (Função linear.) Toda função
dada por
onde
são reais dados, denomina-se função linear. Toda função linear é uma função afim.
Passo 1
O enunciado dá uma função
definida por
onde
são dados. O enunciado afirma que essa é uma função linear e que toda função linear é uma função afim. As perguntas explícitas (o que precisamos mostrar) são:
- Mostrar que a função
é uma função linear (i.e., verificar as propriedades que definem linearidade). - Explicar por que toda função linear é também uma função afim.
As informações relevantes são:
- A fórmula explícita de
: . - Os parâmetros
e são números reais fixos.
Passo 2
Definição de função linear (o que significa ser linear). Vou escrever a definição e explicar cada peça devagar:
- Uma aplicação
é linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar , valem as duas propriedades: e
Explicando:
e
são pares
e
. A primeira propriedade é aditividade (soma na entrada vira soma nas saídas). A segunda é homogeneidade (fator escalar pode sair da aplicação). Para provar linearidade de
basta verificar essas duas propriedades.
Passo 3
Verificação da aditividade para
. Pegue vetores arbitrários
Calcule
. Primeiro escrevendo a soma das entradas:
Aplicando
à soma:
Agora desenvolvendo essa expressão:
Agrupando termos:
Portanto
a propriedade de aditividade está satisfeita.
Passo 4
Verificação da homogeneidade para
. Tome um vetor arbitrário
e um escalar
. Então
Aplicando
em
:
Fatorando
:
Logo
a propriedade de homogeneidade está satisfeita.
Passo 5
Conclusão da linearidade. Como
satisfaz aditividade e homogeneidade para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, concluímos que
é de fato uma função linear.
Comentário didático extra (forma matricial, só para fixar a ideia): escrevendo
como vetor coluna
, podemos ver
como o produto da matriz linha
por esse vetor:
Isso mostra que
é uma transformação linear representada por uma matriz
.
Passo 6
Definição de função afim e por que toda linear é afim. Uma função
é dita afim se pode ser escrita na forma
onde
é uma aplicação linear e
é uma constante (um termo independente). Explicando: uma função afim é uma linear deslocada por uma constante — se
entona uma “translação” do valor.
No nosso caso, a função
já é linear e corresponde ao caso particular de função afim com
. Ou seja, tomando
e
obtemos
logo
é afim. Em palavras simples: toda função linear é uma função afim cujo termo constante é nulo.
Passo 7
Exemplos rápidos para fixar:
- Se
e , então . Veja que e (aditividade), e (homogeneidade). - A função afim
não é linear (porque o termo quebra ), mas é afim; a linear é o caso afim com termo constante .
Resposta
A função
é linear (verificam-se aditividade e homogeneidade) e, portanto, é também afim (caso afim com termo constante
).