EXEMPLO 8. (Função linear.) Toda função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} dada por
f(x, y)=a x+b y
onde a, b são reais dados, denomina-se função linear. Toda função linear é uma função afim.

Passo 1

O enunciado dá uma função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
f(x,y)=a x+b y,
onde a,b\in\mathbb{R} são dados. O enunciado afirma que essa é uma função linear e que toda função linear é uma função afim. As perguntas explícitas (o que precisamos mostrar) são:
  • Mostrar que a função f(x,y)=a x+b y é uma função linear (i.e., verificar as propriedades que definem linearidade).
  • Explicar por que toda função linear é também uma função afim.
As informações relevantes são:
  • A fórmula explícita de f: f(x,y)=a x+b y.
  • Os parâmetros a e b são números reais fixos.

Passo 2

Definição de função linear (o que significa ser linear). Vou escrever a definição e explicar cada peça devagar:
  • Uma aplicação T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e qualquer escalar \lambda\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades: T(u+v)=T(u)+T(v)e T(\lambda u)=\lambda T(u).
Explicando: u e v são pares (x_1,y_1) e (x_2,y_2). A primeira propriedade é aditividade (soma na entrada vira soma nas saídas). A segunda é homogeneidade (fator escalar pode sair da aplicação). Para provar linearidade de f basta verificar essas duas propriedades.

Passo 3

Verificação da aditividade para f. Pegue vetores arbitrários
u=(x_1,y_1),\qquad v=(x_2,y_2).
Calcule f(u+v). Primeiro escrevendo a soma das entradas:
u+v=(x_1+x_2,\; y_1+y_2).
Aplicando f à soma:
f(u+v)=f(x_1+x_2,\;y_1+y_2)=a(x_1+x_2)+b(y_1+y_2).
Agora desenvolvendo essa expressão:
a(x_1+x_2)+b(y_1+y_2)=ax_1+ax_2+by_1+by_2.
Agrupando termos:
ax_1+by_1+ax_2+by_2 = f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2)=f(u)+f(v).
Portanto
f(u+v)=f(u)+f(v),
a propriedade de aditividade está satisfeita.

Passo 4

Verificação da homogeneidade para f. Tome um vetor arbitrário
u=(x,y)
e um escalar \lambda\in\mathbb{R}. Então
\lambda u=(\lambda x,\;\lambda y).
Aplicando f em \lambda u:
f(\lambda u)=f(\lambda x,\;\lambda y)=a(\lambda x)+b(\lambda y).
Fatorando \lambda:
a(\lambda x)+b(\lambda y)=\lambda(ax+by)=\lambda f(x,y)=\lambda f(u).
Logo
f(\lambda u)=\lambda f(u),
a propriedade de homogeneidade está satisfeita.

Passo 5

Conclusão da linearidade. Como f satisfaz aditividade e homogeneidade para quaisquer vetores u,v e qualquer escalar \lambda, concluímos que
f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},\qquad f(x,y)=ax+by,
é de fato uma função linear.
Comentário didático extra (forma matricial, só para fixar a ideia): escrevendo x como vetor coluna \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}, podemos ver f como o produto da matriz linha \begin{pmatrix}a & b\end{pmatrix} por esse vetor:
f(x,y)=\begin{pmatrix}a & b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.
Isso mostra que f é uma transformação linear representada por uma matriz 1\times2.

Passo 6

Definição de função afim e por que toda linear é afim. Uma função g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é dita afim se pode ser escrita na forma
g(x)=L(x)+c,
onde L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é uma aplicação linear e c\in\mathbb{R} é uma constante (um termo independente). Explicando: uma função afim é uma linear deslocada por uma constante — se c\neq0 entona uma “translação” do valor.
No nosso caso, a função f(x,y)=ax+by já é linear e corresponde ao caso particular de função afim com c=0. Ou seja, tomando L=f e c=0 obtemos
f(x,y)=L(x,y)+0,
logo f é afim. Em palavras simples: toda função linear é uma função afim cujo termo constante é nulo.

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar:
  • Se a=2 e b=3, então f(x,y)=2x+3y. Veja que f( (1,0)+(0,1) )=f(1,1)=2\cdot1+3\cdot1=5 e f(1,0)+f(0,1)=2+3=5 (aditividade), e f(3\cdot(1,1))=f(3,3)=2\cdot3+3\cdot3=15=3\cdot f(1,1) (homogeneidade).
  • A função afim g(x,y)=2x+3y+5 não é linear (porque o termo +5 quebra g(0,0)=0), mas é afim; a linear f(x,y)=2x+3y é o caso afim com termo constante 0.

Resposta

A função \;f(x,y)=a x+b y\; é linear (verificam-se aditividade e homogeneidade) e, portanto, é também afim (caso afim com termo constante 0).

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