Determine \operatorname{Dom}(f) se:
(j) f(x, y, z)=\operatorname{sen}\left(x^{2}-y^{2}+z^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio da função dada. As informações fornecidas são:
  • A função é f:\\ ?\\ \to\\ ? definida por
f(x,y,z)=\operatorname{sen}\bigl(x^{2}-y^{2}+z^{2}\bigr).
  • Não há outras restrições explicitadas no enunciado.
As perguntas claras: qual é o conjunto de todos os pontos (x,y,z) onde f(x,y,z) está bem definida?

Passo 2

O que significa “domínio” de uma função?
  • O domínio de f, escrito \operatorname{Dom}(f), é o conjunto de todas as entradas (x,y,z) para as quais a expressão que define f faz sentido (está bem definida) e produz um valor real.
  • Portanto vamos analisar se a expressão interior e a função trigonométrica permitem todas as entradas ou se existem restrições (como divisão por zero, raiz de índice par de número negativo, logaritmo de número não positivo, etc.).

Passo 3

Análise da expressão interna \,x^{2}-y^{2}+z^{2}\,:
  • Para quaisquer x,y,z\in\mathbb{R}, os quadrados x^{2},y^{2},z^{2} estão sempre bem definidos (não há problema em elevar um real ao quadrado).
  • A soma e a subtração de números reais também estão sempre bem definidas.
  • Logo, a expressão x^{2}-y^{2}+z^{2} é um número real para qualquer tripla (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}.

Passo 4

Análise da função exterior \operatorname{sen}(\cdot):
  • A função seno, \operatorname{sen}:\mathbb{R}\to[-1,1], está definida para todo argumento real.
  • Isso significa que sempre que a entrada para \operatorname{sen} for um número real, \operatorname{sen} fornece um valor bem definido (entre -1 e 1).

Passo 5

Conclusão sobre a composição:
  • Como a expressão interna x^{2}-y^{2}+z^{2} é real para todo (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}, e a função \operatorname{sen} aceita qualquer número real como entrada, a composição \operatorname{sen}\bigl(x^{2}-y^{2}+z^{2}\bigr) está bem definida para todo (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}.
  • Não há nenhuma operação proibida (divisão por zero, raiz de número negativo, logaritmo de número não positivo, etc.) neste caso.

Passo 6

Exemplos para intuir:
  • Se (x,y,z)=(0,0,0), então \,x^{2}-y^{2}+z^{2}=0 e f(0,0,0)=\operatorname{sen}(0)=0.
  • Se (x,y,z)=(1,2,-3), então \,1^{2}-2^{2}+(-3)^{2}=1-4+9=6 e f(1,2,-3)=\operatorname{sen}(6), que é um número bem definido.
  • Esses exemplos ilustram que qualquer tripla real funciona.

Passo 7

Escrevendo o domínio de forma matemática:
  • Pelo raciocínio acima,
\operatorname{Dom}(f)=\{(x,y,z)\mid x\in\mathbb{R},\\ y\in\mathbb{R},\\ z\in\mathbb{R}\}=\mathbb{R}^{3}.

Resposta

\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}^{3}

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