Determine
se:
(j)
(j)
Passo 1
O enunciado pede para determinar o domínio da função dada. As informações fornecidas são:
- A função é
definida por
- Não há outras restrições explicitadas no enunciado.
As perguntas claras: qual é o conjunto de todos os pontos
onde
está bem definida?
Passo 2
O que significa “domínio” de uma função?
- O domínio de
, escrito , é o conjunto de todas as entradas para as quais a expressão que define faz sentido (está bem definida) e produz um valor real. - Portanto vamos analisar se a expressão interior e a função trigonométrica permitem todas as entradas ou se existem restrições (como divisão por zero, raiz de índice par de número negativo, logaritmo de número não positivo, etc.).
Passo 3
Análise da expressão interna
:
- Para quaisquer
, os quadrados estão sempre bem definidos (não há problema em elevar um real ao quadrado). - A soma e a subtração de números reais também estão sempre bem definidas.
- Logo, a expressão
é um número real para qualquer tripla .
Passo 4
Análise da função exterior
:
- A função seno,
, está definida para todo argumento real. - Isso significa que sempre que a entrada para
for um número real, fornece um valor bem definido (entre e ).
Passo 5
Conclusão sobre a composição:
- Como a expressão interna
é real para todo , e a função aceita qualquer número real como entrada, a composição está bem definida para todo . - Não há nenhuma operação proibida (divisão por zero, raiz de número negativo, logaritmo de número não positivo, etc.) neste caso.
Passo 6
Exemplos para intuir:
- Se
, então e . - Se
, então e , que é um número bem definido. - Esses exemplos ilustram que qualquer tripla real funciona.
Passo 7
Escrevendo o domínio de forma matemática:
- Pelo raciocínio acima,