Determine
se:
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado dá a função
de duas variáveis definida por
e pede para determinar
, ou seja, o conjunto de todos os pares
para os quais a expressão acima faz sentido como número real.
Informações relevantes fornecidas:
- A função envolve o valor absoluto
. - A função envolve a exponencial
. - Há uma divisão
dentro do expoente.
Passo 2
O que significa “fazer sentido” (definição de domínio) aqui:
é o conjunto de pontos
tais que cada operação na fórmula é bem-definida e resulta em um número real.
Vou analisar cada parte da fórmula separadamente para ver que restrições elas impõem.
Passo 3
Análise da parte
:
é o valor absoluto de
e está definido para todo
. Então essa parte não impõe nenhuma restrição adicional.
Análise da parte
: a função exponencial
está definida para todo
. Portanto o expoente
precisa apenas ser um número real. Isso exige que a divisão
seja bem-definida, ou seja, que
não seja zero. Em símbolos, precisamos de
.
Passo 4
Verificação do caso
: se
então
é um número real qualquer (pois
pode ser qualquer real). Logo
é bem-definida e positiva, e
é um número real não negativo. Portanto, todos os pares com
pertencem ao domínio.
Verificação do caso
: se
então a expressão
não está definida (divisão por zero), independentemente do valor de
. Mesmo que
, a presença de
torna a expressão global indefinida em
. Assim, nenhum par com
pode estar no domínio.
Passo 5
Conclusão verbal: o único impedimento para a definição de
é a divisão por zero; portanto
deve ser diferente de zero, enquanto
pode ser qualquer número real.