Determine \operatorname{Dom}(f) se:
(e) f(x, y)=|x| e^{\frac{y}{x}}

Passo 1

O enunciado dá a função f de duas variáveis definida por
f(x,y)=|x|\,e^{\frac{y}{x}}
e pede para determinar \operatorname{Dom}(f), ou seja, o conjunto de todos os pares (x,y) para os quais a expressão acima faz sentido como número real.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função envolve o valor absoluto |x|.
  • A função envolve a exponencial e^{\frac{y}{x}}.
  • Há uma divisão y/x dentro do expoente.

Passo 2

O que significa “fazer sentido” (definição de domínio) aqui: \operatorname{Dom}(f) é o conjunto de pontos (x,y)\in\mathbb{R}^2 tais que cada operação na fórmula é bem-definida e resulta em um número real.
Vou analisar cada parte da fórmula separadamente para ver que restrições elas impõem.

Passo 3

Análise da parte |x|: |x| é o valor absoluto de x e está definido para todo x\in\mathbb{R}. Então essa parte não impõe nenhuma restrição adicional.
Análise da parte e^{\frac{y}{x}}: a função exponencial e^{t} está definida para todo t\in\mathbb{R}. Portanto o expoente t=\frac{y}{x} precisa apenas ser um número real. Isso exige que a divisão \frac{y}{x} seja bem-definida, ou seja, que x não seja zero. Em símbolos, precisamos de x\neq 0.

Passo 4

Verificação do caso x\neq 0: se x\neq 0 então \frac{y}{x} é um número real qualquer (pois y pode ser qualquer real). Logo e^{\frac{y}{x}} é bem-definida e positiva, e |x|\,e^{\frac{y}{x}} é um número real não negativo. Portanto, todos os pares com x\neq 0 pertencem ao domínio.
Verificação do caso x=0: se x=0 então a expressão \frac{y}{x} não está definida (divisão por zero), independentemente do valor de y. Mesmo que |x|=0, a presença de e^{\frac{y}{x}} torna a expressão global indefinida em x=0. Assim, nenhum par com x=0 pode estar no domínio.

Passo 5

Conclusão verbal: o único impedimento para a definição de f(x,y) é a divisão por zero; portanto x deve ser diferente de zero, enquanto y pode ser qualquer número real.

Resposta

\operatorname{Dom}(f)=(\mathbb{R}\setminus\{0\})\times\mathbb{R}

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