Determine \operatorname{Dom}(f) se:
(o) f(x, y, z)=e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar \operatorname{Dom}(f) da função dada. A função fornecida é
f(x,y,z)=e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
A pergunta é: para quais tuplas (x,y,z) a expressão acima está bem definida como função real de três variáveis?

Passo 2

O que significa “domínio” de uma função de várias variáveis?
O domínio de f é o conjunto de todas as tuplas (x,y,z) para as quais a expressão que define f faz sentido e produz um número real. Em outras palavras, são todos os valores de entrada permitidos sem ambiguidade (sem divisão por zero, sem raiz de número negativo quando trabalhamos com reais, etc.).

Passo 3

Vamos analisar a parte interna da exponencial: x^{2}+y^{2}+z^{2}.
  • Para quaisquer x,y,z\in\mathbb{R} temos que x^{2}, y^{2} e z^{2} são números reais não-negativos.
  • Soma de números reais é número real. Logo, para quaisquer x,y,z\in\mathbb{R} a expressão x^{2}+y^{2}+z^{2} é um número real bem definido (e na verdade \ge 0).

Passo 4

Agora analisamos a função exponencial t\mapsto e^{t}.
  • A função exponencial é definida para todo t\in\mathbb{R}; não há restrição: pode-se calcular e^{t} para qualquer número real t.
  • Portanto, se a expressão x^{2}+y^{2}+z^{2} é um real para uma dada tupla (x,y,z), então e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}} também está bem definida como número real.

Passo 5

Juntando os dois passos anteriores: para qualquer (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} a quantidade x^{2}+y^{2}+z^{2} é real, e a exponencial desse real é bem definida. Não aparece nenhuma operação que imponha restrição (como divisão por zero, logaritmo de número não-positivo, raiz par de número negativo, etc.). Logo não há nenhuma tupla real proibida.

Passo 6

  • Se (x,y,z)=(0,0,0) então f(0,0,0)=e^{0^{2}+0^{2}+0^{2}}=e^{0}=1. Está bem definido.
  • Se (x,y,z)=(1,2,3) então f(1,2,3)=e^{1+4+9}=e^{14}. Também bem definido.
    Esses exemplos ilustram que qualquer escolha de números reais funciona.

Resposta

\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}^{3}

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