Determine as órbitas de cada permutação.
a=\left(\begin{array}{llllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\\ 5 & 1 & 3 & 6 & 2 & 4\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a permutação a em notação de duas linhas:
a=\left(\begin{array}{cccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\[4pt] 5 & 1 & 3 & 6 & 2 & 4\end{array}\right).
A pergunta é: determinar as órbitas (ou classes de órbita) dessa permutação no conjunto \{1,2,3,4,5,6\}.
Vou listar também as imagens diretas de cada elemento que retirarei da própria notação: a(1)=5, a(2)=1, a(3)=3, a(4)=6, a(5)=2, a(6)=4.]

Passo 2

Definição didática de órbita: a órbita de um elemento x sob a permutação a é o conjunto
\{a^{k}(x)\mid k\in\mathbb{N}_0\},
ou seja, todos os elementos que se obtêm ao aplicar a repetidamente em x (incluindo x para k=0). Como estamos em um conjunto finito, ao aplicar a várias vezes eventualmente voltamos a um valor já visto e assim fechamos o ciclo; esse conjunto de valores é a órbita. Na prática, calculamos x, a(x), a^2(x), \dots até retornar a x ou a algum elemento já listado.

Passo 3

Calcular a órbita de 1 seguindo as aplicações de a (usando os valores que pegamos da notação):
a(1)=5.
Aplicando novamente,
a^2(1)=a(a(1))=a(5)=2.
E mais uma vez,
a^3(1)=a(a^2(1))=a(2)=1.
Voltamos a 1, portanto a órbita se fecha e é
\{1,5,2\}.
Explicação leve: ao ir acompanhando, 1\to5\to2\to1, então esses três pertencem à mesma órbita.

Passo 4

Verificar a órbita de 2 para confirmar se é nova ou já obtida:
a(2)=1,\qquad a^2(2)=a(1)=5,\qquad a^3(2)=a(5)=2.
Isso reapresenta 2\to1\to5\to2, portanto a órbita de 2 é a mesma de 1, já encontrada: \{1,5,2\}. Logo não é uma órbita distinta.

Passo 5

Calcular a órbita de 3:
a(3)=3.
Aqui 3 é ponto fixo (aplicar a não altera), então a órbita é simplesmente
\{3\}.

Passo 6

Calcular a órbita de 4:
a(4)=6, \qquad a^2(4)=a(6)=4.
Voltamos a 4 após duas aplicações, logo a órbita é
\{4,6\}.

Passo 7

Verificações finais rápidas:
  • A órbita de 5 já aparece em \{1,5,2\} (pois 5 foi obtido em Passo 3).
  • A órbita de 6 já aparece em \{4,6\} (pois 6 foi obtido em Passo 6).
Assim listamos todas as órbitas distintas.

Passo 8

Interpretação extra (útil para a prova): as órbitas correspondem aos ciclos na decomposição cíclica da permutação. Aqui a decomposição em ciclos disjuntos é (1\\\ 5\\\ 2)(3)(4\\\ 6), o que corresponde exatamente às órbitas \{1,5,2\}, \{3\} e \{4,6\}.

Resposta

\{1,5,2\}
\{3\}
\{4,6\}

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