Em cada caso, calcule
.
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
Vou listar as informações relevantes que temos:
-
é o ciclo , isto é, . Todos os outros elementos são fixos por . -
é o produto de dois ciclos e . Seguirei a convenção usual de composição: o ciclo à direita age primeiro (ou seja, em aplica-se primeiro e depois ). - O objetivo é obter a permutação conjugada
.
Passo 2
Conceito chave (explicação didática): conjugação de ciclos.
Se é um ciclo e
é uma permutação, então
Se
Isto é, para conjugar um ciclo basta substituir cada entrada
por
e manter a ordem. Esse fato vem de que conjugação corresponde a mudar os rótulos dos elementos pela permutação
.
Passo 3
Aplicar a regra aos ciclos de
separadamente.
Primeiro, calculemos .
Primeiro, calculemos
-
porque não aparece em . -
porque também não aparece em . -
pois envia para .
Usando a regra,
Agora para o transposição
:
-
(já visto) e (pois também é fixo por ),
logo
Passo 4
Reescrever
como produto dos ciclos conjugados:
Portanto precisamos simplificar o produto
.
Passo 5
Calcular explicitamente o efeito da permutação
em cada elemento envolvido, aplicando a permutação da direita para a esquerda (primeiro
, depois
):
- Para
: manda . Depois fixa . Logo . - Para
: manda . Depois manda . Logo . - Para
: fixa . Depois manda . Logo . - Para
: fixa . Depois manda . Logo .
Juntando,
, ou seja, forma-se o ciclo
.
Os outros elementos
(aqueles não mencionados) são fixos por
porque não aparecem nos ciclos que compõem
. Em particular,
ficou fixo aqui.
Passo 6
Conclusão: o produto
é igual ao ciclo
. Portanto