Em cada caso, calcule \alpha \sigma \alpha^{-1}.
\alpha=\left(\begin{array}{lll}5 & 7 & 9\end{array}\right) e \sigma=\left(\begin{array}{lll}1 & 3 & 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}1 & 2\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular \alpha\sigma\alpha^{-1} onde
\alpha=(5\\\ 7\\\ 9) \qquad\text{e}\qquad \sigma=(1\\\ 3\\\ 5)(1\\\ 2).
Vou listar as informações relevantes que temos:
  • \alpha é o ciclo (5\\\ 7\\\ 9), isto é, \alpha(5)=7,\\ \alpha(7)=9,\\ \alpha(9)=5. Todos os outros elementos são fixos por \alpha.
  • \sigma é o produto de dois ciclos (1\\\ 3\\\ 5) e (1\\\ 2). Seguirei a convenção usual de composição: o ciclo à direita age primeiro (ou seja, em (1\\\ 3\\\ 5)(1\\\ 2) aplica-se primeiro (1\\\ 2) e depois (1\\\ 3\\\ 5)).
  • O objetivo é obter a permutação conjugada \alpha\sigma\alpha^{-1}.

Passo 2

Conceito chave (explicação didática): conjugação de ciclos.
Se c=(a_1\\ a_2\\ \dots\\ a_k) é um ciclo e \alpha é uma permutação, então
\alpha\,c\,\alpha^{-1} = \bigl(\alpha(a_1)\\ \alpha(a_2)\\ \dots\\ \alpha(a_k)\bigr).
Isto é, para conjugar um ciclo basta substituir cada entrada a_i por \alpha(a_i) e manter a ordem. Esse fato vem de que conjugação corresponde a mudar os rótulos dos elementos pela permutação \alpha.

Passo 3

Aplicar a regra aos ciclos de \sigma separadamente.
Primeiro, calculemos \alpha(1),\alpha(3),\alpha(5).
  • \alpha(1)=1 porque 1 não aparece em (5\\\ 7\\\ 9).
  • \alpha(3)=3 porque 3 também não aparece em (5\\\ 7\\\ 9).
  • \alpha(5)=7 pois \alpha envia 5 para 7.
Usando a regra,
\alpha(1\\\ 3\\\ 5)\alpha^{-1} = (\,\alpha(1)\\ \alpha(3)\\ \alpha(5)\,) = (1\\\ 3\\\ 7).
Agora para o transposição (1\\\ 2):
  • \alpha(1)=1 (já visto) e \alpha(2)=2 (pois 2 também é fixo por \alpha),
    logo
\alpha(1\\\ 2)\alpha^{-1} = (1\\\ 2).

Passo 4

Reescrever \alpha\sigma\alpha^{-1} como produto dos ciclos conjugados:
\alpha\sigma\alpha^{-1} = \alpha(1\\\ 3\\\ 5)(1\\\ 2)\alpha^{-1} = \bigl(\alpha(1\\\ 3\\\ 5)\alpha^{-1}\bigr)\bigl(\alpha(1\\\ 2)\alpha^{-1}\bigr) = (1\\\ 3\\\ 7)(1\\\ 2).
Portanto precisamos simplificar o produto (1\\\ 3\\\ 7)(1\\\ 2).

Passo 5

Calcular explicitamente o efeito da permutação \tau=(1\\\ 3\\\ 7)(1\\\ 2) em cada elemento envolvido, aplicando a permutação da direita para a esquerda (primeiro (1\\\ 2), depois (1\\\ 3\\\ 7)):
  • Para 1: (1\\\ 2) manda 1\mapsto2. Depois (1\\\ 3\\\ 7) fixa 2. Logo \tau(1)=2.
  • Para 2: (1\\\ 2) manda 2\mapsto1. Depois (1\\\ 3\\\ 7) manda 1\mapsto3. Logo \tau(2)=3.
  • Para 3: (1\\\ 2) fixa 3. Depois (1\\\ 3\\\ 7) manda 3\mapsto7. Logo \tau(3)=7.
  • Para 7: (1\\\ 2) fixa 7. Depois (1\\\ 3\\\ 7) manda 7\mapsto1. Logo \tau(7)=1.
Juntando, 1\mapsto2\mapsto3\mapsto7\mapsto1, ou seja, forma-se o ciclo (1\\\ 2\\\ 3\\\ 7).
Os outros elementos 4,5,6,8,9,\dots (aqueles não mencionados) são fixos por \tau porque não aparecem nos ciclos que compõem \tau. Em particular, 5 ficou fixo aqui.

Passo 6

Conclusão: o produto (1\\\ 3\\\ 7)(1\\\ 2) é igual ao ciclo (1\\\ 2\\\ 3\\\ 7). Portanto
\alpha\sigma\alpha^{-1}=(1\\\ 2\\\ 3\\\ 7).

Resposta

(1\\\ 2\\\ 3\\\ 7)

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