Verifique quais permutações têm a mesma estrutura de ciclos.
\sigma=(312)(456) e \tau=(163)(245) em S_{7}.

Passo 1

O enunciado nos dá duas permutações em S_{7}:
  • \sigma=(312)(456).
  • \tau=(163)(245).
O que foi pedido: verificar quais permutações (entre as dadas) têm a mesma estrutura de ciclos — ou seja, comparar a forma dos ciclos (comprimentos e quantidades), ignorando os rótulos dos elementos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como ler uma notação de ciclo. Uma ciclo (a\,b\,c) significa que
a\mapsto b,\qquad b\mapsto c,\qquad c\mapsto a.
Elementos que não aparecem em nenhum ciclo são pontos fixos (mapeiam para si mesmos).

Passo 3

Ler \sigma=(312)(456) elemento a elemento:
  • Na ciclo (312) temos 3\mapsto1,\;1\mapsto2,\;2\mapsto3.
  • Na ciclo (456) temos 4\mapsto5,\;5\mapsto6,\;6\mapsto4.
  • O elemento 7 não aparece em nenhuma ciclo, logo 7 é fixo: 7\mapsto7.
Assim, \sigma é composta por duas ciclos disjuntas de comprimento 3 e um ponto fixo (um ciclo de comprimento 1).

Passo 4

Ler \tau=(163)(245) elemento a elemento:
  • Na ciclo (163) temos 1\mapsto6,\;6\mapsto3,\;3\mapsto1.
  • Na ciclo (245) temos 2\mapsto4,\;4\mapsto5,\;5\mapsto2.
  • O elemento 7 também não aparece, logo 7\mapsto7.
Assim, \tau também é composta por duas ciclos disjuntas de comprimento 3 e um ponto fixo.

Passo 5

Explicar o que significa “mesma estrutura de ciclos”: duas permutações têm a mesma estrutura de ciclos se, ao olhar apenas para os comprimentos das suas ciclos disjuntas (contando multiplicidade), essas listas forem iguais. Exemplos:
  • Uma permutação com um 3-ciclo e quatro pontos fixos tem estrutura \{3,1,1,1,1\}.
  • Duas permutações com duas 3-ciclos e um ponto fixo têm estrutura \{3,3,1\}.

Passo 6

Comparando as estruturas obtidas:
  • \sigma tem estrutura \{3,3,1\}.
  • \tau tem estrutura \{3,3,1\}.
Portanto, as duas permutações têm a mesma estrutura de ciclos.

Passo 7

Comentário adicional útil para a prova (não obrigatório, mas bom saber): em S_{n} duas permutações têm a mesma estrutura de ciclos exatamente quando são conjugadas. Podemos até construir explicitamente um conjugador p\in S_{7} tal que p\sigma p^{-1}=\tau. Basta enviar os elementos dos ciclos de \sigma para os elementos correspondentes dos ciclos de \tau.
Tomando a correspondência
(3\;1\;2)\mapsto(1\;6\;3),\qquad (4\;5\;6)\mapsto(2\;4\;5),
define-se p por
p:\;3\mapsto1,\;1\mapsto6,\;2\mapsto3,\;4\mapsto2,\;5\mapsto4,\;6\mapsto5,\;7\mapsto7.
Em notação de ciclos isso é
p=(1\;6\;5\;4\;2\;3),
um 6-ciclo (e 7 fixo). Verificando rápido em alguns pontos confirma-se p\sigma p^{-1}=\tau, o que reforça que \sigma e \tau têm a mesma estrutura.

Resposta

Sim. \sigma e \tau têm a mesma estrutura de ciclos: duas ciclos de comprimento 3 e um ponto fixo (estrutura \{3,3,1\}).
Um conjugador explícito é p=(1\;6\;5\;4\;2\;3), que satisfaz p\sigma p^{-1}=\tau.

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