Verifique quais permutações têm a mesma estrutura de ciclos.
e
em
.
Passo 1
O enunciado nos dá duas permutações em
:
-
. -
.
O que foi pedido: verificar quais permutações (entre as dadas) têm a mesma estrutura de ciclos — ou seja, comparar a forma dos ciclos (comprimentos e quantidades), ignorando os rótulos dos elementos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como ler uma notação de ciclo. Uma ciclo
significa que
Elementos que não aparecem em nenhum ciclo são pontos fixos (mapeiam para si mesmos).
Passo 3
Ler
elemento a elemento:
- Na ciclo
temos . - Na ciclo
temos . - O elemento
não aparece em nenhuma ciclo, logo é fixo: .
Assim,
é composta por duas ciclos disjuntas de comprimento
e um ponto fixo (um ciclo de comprimento
).
Passo 4
Ler
elemento a elemento:
- Na ciclo
temos . - Na ciclo
temos . - O elemento
também não aparece, logo .
Assim,
também é composta por duas ciclos disjuntas de comprimento
e um ponto fixo.
Passo 5
Explicar o que significa “mesma estrutura de ciclos”: duas permutações têm a mesma estrutura de ciclos se, ao olhar apenas para os comprimentos das suas ciclos disjuntas (contando multiplicidade), essas listas forem iguais. Exemplos:
- Uma permutação com um 3-ciclo e quatro pontos fixos tem estrutura
. - Duas permutações com duas 3-ciclos e um ponto fixo têm estrutura
.
Passo 6
Comparando as estruturas obtidas:
-
tem estrutura . -
tem estrutura .
Portanto, as duas permutações têm a mesma estrutura de ciclos.
Passo 7
Comentário adicional útil para a prova (não obrigatório, mas bom saber): em
duas permutações têm a mesma estrutura de ciclos exatamente quando são conjugadas. Podemos até construir explicitamente um conjugador
tal que
. Basta enviar os elementos dos ciclos de
para os elementos correspondentes dos ciclos de
.
Tomando a correspondência
define-se
por
Em notação de ciclos isso é
um 6-ciclo (e
fixo). Verificando rápido em alguns pontos confirma-se
, o que reforça que
e
têm a mesma estrutura.
Resposta
Sim.
e
têm a mesma estrutura de ciclos: duas ciclos de comprimento
e um ponto fixo (estrutura
).
Um conjugador explícito é , que satisfaz
.
Um conjugador explícito é