Determine a ordem das equações. Indique se elas são homogêneas, lineares ou não-lineares:
\frac{d^{3} y}{d x^{3}}+\cos ^{2} x \frac{d y}{d x}=e^{x}

Passo 1

O enunciado pede:
  • Determinar a ordem da equação diferencial.
  • Indicar se ela é homogênea ou não.
  • Indicar se ela é linear ou não-linear.
A equação fornecida é
\frac{d^{3}y}{dx^{3}}+\cos^{2}x\,\frac{dy}{dx}=e^{x}.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma equação diferencial?
  • A ordem é o maior índice de derivada de y que aparece na equação.
  • Exemplo rápido: em \dfrac{d^2 y}{dx^2}+y=0 a ordem é 2 porque aparece \dfrac{d^2 y}{dx^2}.
Agora olhando a equação dada, o maior índice de derivada presente é \dfrac{d^{3}y}{dx^{3}}. Logo a ordem é
3.

Passo 3

O que significa “linear” versus “não-linear”?
  • Uma equação diferencial é linear (de ordem n) se pode ser escrita na forma
a_n(x)\frac{d^n y}{dx^n}+a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+\dots+a_1(x)\frac{dy}{dx}+a_0(x)y = g(x),
onde os coeficientes a_i(x) e a função g(x) dependem apenas de x (não de y nem de derivadas de y), e y e suas derivadas aparecem apenas à primeira potência e nunca multiplicadas entre si.
  • Se houver termos como (y')^2, y\cdot y'', \sin(y), y^2 etc., a equação é não-linear.

Passo 4

Identificando os termos na equação dada:
\frac{d^{3}y}{dx^{3}}+\cos^{2}x\,\frac{dy}{dx}=e^{x},
podemos reorganizar na forma padrão:
1\cdot\frac{d^{3}y}{dx^{3}}+0\cdot\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+\cos^{2}x\cdot\frac{dy}{dx}+0\cdot y = e^{x}.
Aqui os coeficientes são funções de x apenas: a_3(x)=1, a_2(x)=0, a_1(x)=\cos^{2}x, a_0(x)=0, e o termo do lado direito é g(x)=e^{x}.
  • Não aparecem produtos entre y e suas derivadas nem potências de y ou de suas derivadas.
    Portanto a equação é linear.

Passo 5

O que significa “homogênea” neste contexto?
  • Para equações lineares, diz-se que a equação é homogênea se o termo de não-homogeneidade g(x) for identicamente zero; ou seja, a forma homogênea é
a_n(x)\frac{d^n y}{dx^n}+\dots+a_0(x)y = 0.
  • Se g(x)\neq 0 para algum x, a equação é não-homogênea.
Na equação dada temos g(x)=e^{x}, que não é zero. Logo a equação é não-homogênea. (A equação homogênea associada seria \dfrac{d^{3}y}{dx^{3}}+\cos^{2}x\,\dfrac{dy}{dx}=0.)

Passo 6

Observação adicional útil para a prova (resumo curto e prático):
  • Ordem: olhe o maior expoente de derivada.
  • Linearidade: verifique se y e suas derivadas aparecem apenas à primeira potência e não se multiplicam entre si; coeficientes podem depender de x.
  • Homogeneidade (para lineares): veja se o lado direito é zero ou não.

Resposta

Ordem: 3
Linearidade: linear (equação linear de terceira ordem com coeficientes que dependem de x)
Homogeneidade: não-homogênea (termo não-nulo e^{x} no lado direito)

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