Determine a ordem das equações. Indique se elas são homogêneas, lineares ou não-lineares:
Passo 1
O enunciado pede:
- Determinar a ordem da equação diferencial.
- Indicar se ela é homogênea ou não.
- Indicar se ela é linear ou não-linear.
A equação fornecida é
Passo 2
O que significa “ordem” de uma equação diferencial?
- A ordem é o maior índice de derivada de
que aparece na equação. - Exemplo rápido: em
a ordem é porque aparece .
Agora olhando a equação dada, o maior índice de derivada presente é
. Logo a ordem é
Passo 3
O que significa “linear” versus “não-linear”?
- Uma equação diferencial é linear (de ordem
) se pode ser escrita na forma
onde os coeficientes
e a função
dependem apenas de
(não de
nem de derivadas de
), e
e suas derivadas aparecem apenas à primeira potência e nunca multiplicadas entre si.
- Se houver termos como
, , , etc., a equação é não-linear.
Passo 4
Identificando os termos na equação dada:
podemos reorganizar na forma padrão:
Aqui os coeficientes são funções de
apenas:
,
,
,
, e o termo do lado direito é
.
- Não aparecem produtos entre
e suas derivadas nem potências de ou de suas derivadas.
Portanto a equação é linear.
Passo 5
O que significa “homogênea” neste contexto?
- Para equações lineares, diz-se que a equação é homogênea se o termo de não-homogeneidade
for identicamente zero; ou seja, a forma homogênea é
- Se
para algum , a equação é não-homogênea.
Na equação dada temos
, que não é zero. Logo a equação é não-homogênea. (A equação homogênea associada seria
.)
Passo 6
Observação adicional útil para a prova (resumo curto e prático):
- Ordem: olhe o maior expoente de derivada.
- Linearidade: verifique se
e suas derivadas aparecem apenas à primeira potência e não se multiplicam entre si; coeficientes podem depender de . - Homogeneidade (para lineares): veja se o lado direito é zero ou não.
Resposta
Ordem:
Linearidade: linear (equação linear de terceira ordem com coeficientes que dependem de )
Homogeneidade: não-homogênea (termo não-nulo no lado direito)
Linearidade: linear (equação linear de terceira ordem com coeficientes que dependem de
Homogeneidade: não-homogênea (termo não-nulo