Encontre, caso existam, dois números cuja diferença é igual a 3 e cujo produto é igual a 20 .
Passo 1
O enunciado pede: encontrar, caso existam, dois números cuja diferença é igual a
e cujo produto é igual a
.
Informações dadas:
- A diferença entre os dois números vale
. - O produto dos dois números vale
.
Passo 2
Vamos usar letras para representar os dois números e traduzir as condições em equações. Seja
e
os dois números, e assumimos que a diferença indicada é
. A informação do produto vira
.
Então temos o sistema de duas equações em duas incógnitas:
Passo 3
Vou isolar uma incógnita na equação linear e substituir na outra (método da substituição). Da primeira equação obtemos
Explicação rápida do método: isolamos uma variável (aqui
) em termos da outra (
) e colocamos essa expressão na outra equação. Assim reduzimos o sistema a uma única equação com uma incógnita.
Passo 4
Substituindo
na equação do produto
obtemos uma equação em
apenas:
Desenvolvendo,
Colocando em forma padrão de uma equação quadrática:
Passo 5
Agora precisamos resolver a equação quadrática
. Quando a equação não fatoriza facilmente em inteiros, usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). A fórmula geral para resolver
é
onde
,
e
são os coeficientes da equação. O termo
chama-se discriminante; se
há duas raízes reais distintas, se
há uma raiz real dupla, e se
não há raízes reais.
No nosso caso
,
,
. Calculamos o discriminante:
Como
, há duas raízes reais distintas.
Passo 6
Aplicando a fórmula:
Portanto as duas soluções para
são
Passo 7
Lembrando que
, obtemos os correspondentes valores de
:
Passo 8
Interpretando as soluções: temos dois pares ordenados
que satisfazem as condições. Em forma de conjuntos (ou pares de números), as soluções são
Para intuição, as aproximações decimais são, respectivamente, aproximadamente
e
; em ambos os casos a diferença entre as coordenadas é
e o produto é
.