Encontre, caso existam, dois números cuja diferença é igual a 3 e cujo produto é igual a 20 .

Passo 1

O enunciado pede: encontrar, caso existam, dois números cuja diferença é igual a 3 e cujo produto é igual a 20.
Informações dadas:
  • A diferença entre os dois números vale 3.
  • O produto dos dois números vale 20.

Passo 2

Vamos usar letras para representar os dois números e traduzir as condições em equações. Seja x e y os dois números, e assumimos que a diferença indicada é x-y=3. A informação do produto vira xy=20.
Então temos o sistema de duas equações em duas incógnitas:
\begin{cases} x-y=3,\\[4pt] xy=20. \end{cases}]

Passo 3

Vou isolar uma incógnita na equação linear e substituir na outra (método da substituição). Da primeira equação obtemos
x=y+3.
Explicação rápida do método: isolamos uma variável (aqui x) em termos da outra ( y) e colocamos essa expressão na outra equação. Assim reduzimos o sistema a uma única equação com uma incógnita.

Passo 4

Substituindo x=y+3 na equação do produto xy=20 obtemos uma equação em y apenas:
(y+3)\,y=20.
Desenvolvendo,
y^2+3y=20.
Colocando em forma padrão de uma equação quadrática:
y^2+3y-20=0.

Passo 5

Agora precisamos resolver a equação quadrática \;y^2+3y-20=0. Quando a equação não fatoriza facilmente em inteiros, usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). A fórmula geral para resolver
a y^2 + b y + c = 0
é
y=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},
onde a, b e c são os coeficientes da equação. O termo \Delta=b^2-4ac chama-se discriminante; se \Delta>0 há duas raízes reais distintas, se \Delta=0 há uma raiz real dupla, e se \Delta<0 não há raízes reais.
No nosso caso a=1, b=3, c=-20. Calculamos o discriminante:
\Delta=b^2-4ac=3^2-4\cdot1\cdot(-20)=9+80=89.
Como \Delta=89>0, há duas raízes reais distintas.

Passo 6

Aplicando a fórmula:
y=\frac{-3\pm\sqrt{89}}{2}.
Portanto as duas soluções para y são
y_1=\frac{-3+\sqrt{89}}{2}, \qquad y_2=\frac{-3-\sqrt{89}}{2}.

Passo 7

Lembrando que x=y+3, obtemos os correspondentes valores de x:
x_1=y_1+3=\frac{-3+\sqrt{89}}{2}+3=\frac{3+\sqrt{89}}{2},
x_2=y_2+3=\frac{-3-\sqrt{89}}{2}+3=\frac{3-\sqrt{89}}{2}.

Passo 8

Interpretando as soluções: temos dois pares ordenados (x,y) que satisfazem as condições. Em forma de conjuntos (ou pares de números), as soluções são
\left(\frac{3+\sqrt{89}}{2},\;\frac{-3+\sqrt{89}}{2}\right) \quad\text{e}\quad \left(\frac{3-\sqrt{89}}{2},\;\frac{-3-\sqrt{89}}{2}\right).
Para intuição, as aproximações decimais são, respectivamente, aproximadamente (6{,}2165,\;3{,}2165) e (-3{,}2165,\;-6{,}2165); em ambos os casos a diferença entre as coordenadas é 3 e o produto é 20.

Resposta

\left(\dfrac{3+\sqrt{89}}{2},\;\dfrac{-3+\sqrt{89}}{2}\right)
\left(\dfrac{3-\sqrt{89}}{2},\;\dfrac{-3-\sqrt{89}}{2}\right)

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