Determine a ordem das equações. Indique se elas são homogêneas, lineares ou não-lineares:
Passo 1
O enunciado pede 3 coisas sobre a equação diferencial dada:
- Determinar a ordem da equação.
- Indicar se a equação é homogênea ou não.
- Indicar se a equação é linear ou não-linear.
A equação fornecida é
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A incógnita é a função
. - Aparecem as derivadas
e . - Os coeficientes dos termos são funções de
(especificamente , e ). - O termo do lado direito é igual a
.
Passo 2
O que significa “ordem” de uma equação diferencial e como identificar aqui.
Definição: a ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada da incógnita
que aparece na equação. Por exemplo, se a maior derivada que aparece é
, a equação é de ordem
.
Aplicando ao caso: na equação aparecem as derivadas
(primeira ordem) e
(segunda ordem). A maior ordem presente é a segunda ordem, portanto a ordem da equação é
.
Passo 3
O que significa “linear” e como testar linearidade.
Definição: uma equação diferencial é linear em
se pode ser escrita na forma
onde cada
e
são funções apenas de
(não dependem de
nem de suas potências ou produtos entre derivadas). Em palavras: a equação é linear se
e suas derivadas aparecem apenas em termos de primeira potência e não multiplicados entre si nem dentro de funções não lineares (como
,
,
, etc.).
Teste aplicado: escrevendo a equação dada na forma padrão,
vemos que cada termo é um coeficiente (função de
) multiplicando uma derivada de
ou
em primeira potência. Não há termos como
,
,
ou funções não-lineares de
. Portanto a equação é linear.
Passo 4
O que significa “homogênea” no contexto de equações diferenciais lineares e como verificar.
Definição: uma equação diferencial linear é chamada homogênea se o termo independente (lado direito) é
; isto é, na forma
ela é homogênea quando
. Se
diz-se não-homogênea.
Aplicando ao caso: a equação é
ou seja, aqui
. Logo, a equação linear é homogênea.
Passo 5
Observação adicional útil para a prova: tipo especial da equação e domínio
A equação tem a forma
onde os coeficientes são potências de
com expoentes correspondentes às ordens das derivadas. Essa é a forma característica de uma equação de Euler–Cauchy (também chamada equação equidimensional). Isso é só uma observação útil caso seja pedido resolver a equação — normalmente se tenta solução do tipo
.
Também é importante notar que, como o coeficiente líder é
, o ponto
é singular (não se pode dividir por
ali para colocar a equação na forma
com
regulares em
). Portanto, o estudo da equação costuma ser feito para
.
Resposta
Ordem:
Classificação: linear e homogênea (equação de Euler–Cauchy)
Classificação: linear e homogênea (equação de Euler–Cauchy)