Determine a ordem das equações. Indique se elas são homogêneas, lineares ou não-lineares:
x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x \frac{d y}{d x}+2 y=0

Passo 1

O enunciado pede 3 coisas sobre a equação diferencial dada:
  • Determinar a ordem da equação.
  • Indicar se a equação é homogênea ou não.
  • Indicar se a equação é linear ou não-linear.
A equação fornecida é
x^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + x\frac{dy}{dx} + 2y = 0.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A incógnita é a função y(x).
  • Aparecem as derivadas \dfrac{dy}{dx} e \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}.
  • Os coeficientes dos termos são funções de x (especificamente x^2, x e 2).
  • O termo do lado direito é igual a 0.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma equação diferencial e como identificar aqui.
Definição: a ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada da incógnita y que aparece na equação. Por exemplo, se a maior derivada que aparece é \dfrac{d^{3}y}{dx^{3}}, a equação é de ordem 3.
Aplicando ao caso: na equação aparecem as derivadas \dfrac{dy}{dx} (primeira ordem) e \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} (segunda ordem). A maior ordem presente é a segunda ordem, portanto a ordem da equação é 2.

Passo 3

O que significa “linear” e como testar linearidade.
Definição: uma equação diferencial é linear em y se pode ser escrita na forma
a_n(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = g(x),
onde cada a_k(x) e g(x) são funções apenas de x (não dependem de y nem de suas potências ou produtos entre derivadas). Em palavras: a equação é linear se y e suas derivadas aparecem apenas em termos de primeira potência e não multiplicados entre si nem dentro de funções não lineares (como \sin(y), y^2, y y', etc.).
Teste aplicado: escrevendo a equação dada na forma padrão,
x^{2}y'' + x y' + 2y = 0,
vemos que cada termo é um coeficiente (função de x) multiplicando uma derivada de y ou y em primeira potência. Não há termos como y^2, y y', \sin(y) ou funções não-lineares de y. Portanto a equação é linear.

Passo 4

O que significa “homogênea” no contexto de equações diferenciais lineares e como verificar.
Definição: uma equação diferencial linear é chamada homogênea se o termo independente (lado direito) é 0; isto é, na forma
a_n(x)\,y^{(n)} + \cdots + a_0(x)\,y = g(x),
ela é homogênea quando g(x)=0. Se g(x)\neq 0 diz-se não-homogênea.
Aplicando ao caso: a equação é
x^{2}y'' + x y' + 2y = 0,
ou seja, aqui g(x)=0. Logo, a equação linear é homogênea.

Passo 5

Observação adicional útil para a prova: tipo especial da equação e domínio
A equação tem a forma
x^{2}y'' + x y' + 2y = 0,
onde os coeficientes são potências de x com expoentes correspondentes às ordens das derivadas. Essa é a forma característica de uma equação de Euler–Cauchy (também chamada equação equidimensional). Isso é só uma observação útil caso seja pedido resolver a equação — normalmente se tenta solução do tipo y=x^{r}.
Também é importante notar que, como o coeficiente líder é x^{2}, o ponto x=0 é singular (não se pode dividir por x^{2} ali para colocar a equação na forma y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 com p,q regulares em 0). Portanto, o estudo da equação costuma ser feito para x\neq 0.

Resposta

Ordem: 2
Classificação: linear e homogênea (equação de Euler–Cauchy)

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