Determine a ordem das equações. Indique se elas são homogêneas, lineares ou não-lineares:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
As perguntas que preciso responder são:
- Qual é a ordem da equação?
- A equação é homogênea, linear ou não-linear?
Observação importante (não pede nada, só clarificação): na equação aparecem tanto
(em
e
) quanto
(no termo
). Provavelmente é só uma incongruência de notação — isso não altera a classificação que é pedida (ordem e linearidade/homogeneidade). Vou tratar
como variável independente (ou, alternativamente,
; o resultado permanece o mesmo).
Passo 2
O que significa “ordem” de uma equação diferencial?
- A ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas da função desconhecida
que aparece na equação.
Exemplos rápidos: - Se a maior derivada presente é
, a equação é de ordem . - Se a maior derivada presente é
, a equação é de ordem .
Na nossa equação o maior grau de derivada que aparece é(mesmo que esse termo esteja elevado ao quadrado). Portanto a ordem é .
Passo 3
O que significa “linear” para uma equação diferencial?
- Uma equação diferencial é linear se a função desconhecida
e todas as suas derivadas aparecem só em potência (isto é, de forma linear), e não aparecem produtos entre e suas derivadas nem funções não-lineares de ou das derivadas (como quadrados, senos, exponenciais de , etc.). Coeficientes podem depender da variável independente .
Forma geral de uma equação linear de segunda ordem:
onde
são funções de
somente.
No nosso caso o termo é a derivada segunda elevada ao quadrado — isto é, aparece uma potência
da derivada segunda. Isso viola exatamente a condição de linearidade (aparição apenas na potência
). Logo a equação é não linear.
No nosso caso o termo
Passo 4
Explicando por que
torna a equação não linear, com um exemplo paralelo:
- Compare com uma equação linear:
. Aqui todas as derivadas aparecem na potência → linear. - Na equação dada, a presença de
significa que há um termo quadrático em uma derivada, portanto o princípio da superposição não vale e a equação é não linear.
Passo 5
O que significa “homogênea” aqui?
- Para equações diferenciais lineares, diz-se “homogênea” quando o termo do lado direito é zero, isto é:
é uma equação linear homogênea.
- Como a nossa equação NÃO é linear, a noção padrão de “equação linear homogênea” não se aplica diretamente. Ainda assim, se alguém perguntar se a equação é homogênea no sentido linear-comum (lado direito igual a zero), a resposta é que não é, porque o lado direito é
(que não é zero). - Há outros sentidos da palavra “homogênea” para equações não-lineares (homogeneidade de funções), mas isso é um tópico mais avançado e não parece ser o objetivo aqui.
Passo 6
Conclusão combinando tudo:
- Ordem: a maior derivada presente é
→ ordem . - Linearidade: há o termo
, portanto a equação é não linear. - Homogeneidade (no sentido de equação linear homogênea): não é homogênea nesse sentido, porque o membro direito é
. Além disso, por ser não linear, a classificação “linear homogênea” não se aplica.
Resposta
Ordem:
Classificação: não linear (portanto não é uma equação linear homogênea); o membro direito é , logo não homogênea no sentido usual de equações lineares (RHS
).
Classificação: não linear (portanto não é uma equação linear homogênea); o membro direito é