Determine a ordem das equações. Indique se elas são homogêneas, lineares ou não-lineares:
\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{2}+\frac{d y}{d x}=t^{3}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{2}+\frac{d y}{d x}=t^{3}.
As perguntas que preciso responder são:
  • Qual é a ordem da equação?
  • A equação é homogênea, linear ou não-linear?
Observação importante (não pede nada, só clarificação): na equação aparecem tanto x (em \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} e \dfrac{dy}{dx}) quanto t (no termo t^{3}). Provavelmente é só uma incongruência de notação — isso não altera a classificação que é pedida (ordem e linearidade/homogeneidade). Vou tratar x como variável independente (ou, alternativamente, t; o resultado permanece o mesmo).

Passo 2

O que significa “ordem” de uma equação diferencial?
  • A ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas da função desconhecida y que aparece na equação.
    Exemplos rápidos:
  • Se a maior derivada presente é \dfrac{dy}{dx}, a equação é de ordem 1.
  • Se a maior derivada presente é \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}, a equação é de ordem 2.
    Na nossa equação o maior grau de derivada que aparece é \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} (mesmo que esse termo esteja elevado ao quadrado). Portanto a ordem é 2.

Passo 3

O que significa “linear” para uma equação diferencial?
  • Uma equação diferencial é linear se a função desconhecida y e todas as suas derivadas aparecem só em potência 1 (isto é, de forma linear), e não aparecem produtos entre y e suas derivadas nem funções não-lineares de y ou das derivadas (como quadrados, senos, exponenciais de y, etc.). Coeficientes podem depender da variável independente x.
    Forma geral de uma equação linear de segunda ordem:
a_2(x)\,\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + a_1(x)\,\frac{dy}{dx} + a_0(x)\,y = g(x),
onde a_2,a_1,a_0,g são funções de x somente.
No nosso caso o termo \left(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{2} é a derivada segunda elevada ao quadrado — isto é, aparece uma potência 2 da derivada segunda. Isso viola exatamente a condição de linearidade (aparição apenas na potência 1). Logo a equação é não linear.

Passo 4

Explicando por que \left(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{2} torna a equação não linear, com um exemplo paralelo:
  • Compare com uma equação linear: \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} + \dfrac{dy}{dx} = x^{3}. Aqui todas as derivadas aparecem na potência 1 → linear.
  • Na equação dada, a presença de \left(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{2} significa que há um termo quadrático em uma derivada, portanto o princípio da superposição não vale e a equação é não linear.

Passo 5

O que significa “homogênea” aqui?
  • Para equações diferenciais lineares, diz-se “homogênea” quando o termo do lado direito é zero, isto é:
a_2(x)\,\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + a_1(x)\,\frac{dy}{dx} + a_0(x)\,y = 0
é uma equação linear homogênea.
  • Como a nossa equação NÃO é linear, a noção padrão de “equação linear homogênea” não se aplica diretamente. Ainda assim, se alguém perguntar se a equação é homogênea no sentido linear-comum (lado direito igual a zero), a resposta é que não é, porque o lado direito é t^{3} (que não é zero).
  • Há outros sentidos da palavra “homogênea” para equações não-lineares (homogeneidade de funções), mas isso é um tópico mais avançado e não parece ser o objetivo aqui.

Passo 6

Conclusão combinando tudo:
  • Ordem: a maior derivada presente é \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} → ordem 2.
  • Linearidade: há o termo \left(\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{2}, portanto a equação é não linear.
  • Homogeneidade (no sentido de equação linear homogênea): não é homogênea nesse sentido, porque o membro direito é t^{3}\neq 0. Além disso, por ser não linear, a classificação “linear homogênea” não se aplica.

Resposta

Ordem: 2
Classificação: não linear (portanto não é uma equação linear homogênea); o membro direito é t^{3}, logo não homogênea no sentido usual de equações lineares (RHS \neq 0).

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