Resolva os problemas de valor inicial:
com condição inicial
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que pede. O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial:
com a condição inicial
O que o problema pede: encontrar a função
definida em um intervalo contendo
que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Vamos reorganizar a equação para ver qual método é mais direto. Subtraindo
dos dois lados obtemos
Aqui a equação está na forma onde a derivada de
é um produto de uma função de
por
. Isso permite usar o método de separação de variáveis, que é simples e direto: separar os termos em
de um lado e os termos em
do outro. Também poderia ser resolvida como uma equação linear de primeira ordem usando fator integrante, mas a separação é mais rápida neste caso.
Passo 3
Aplicando separação de variáveis: escrever
e dividir por
(é permitido porque a condição inicial dá
, então existe um intervalo ao redor de
onde
não anula):
Agora ambas as variáveis estão separadas: o lado esquerdo depende só de
e o direito só de
.
Passo 4
Integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo é a integral de
, e a do lado direito é a integral de
. Portanto
Calcule as integrais passo a passo:
Assim obtemos, com uma constante de integração
,
Passo 5
Agora vamos resolver para
. Exponenciando ambos os lados:
Usando
e chamando
, temos
Podemos incorporar o sinal possível em uma constante real
, obtendo a forma geral
onde
é uma constante real arbitrária (para evitar problemas de sinal foi trocada a dependência em
por
, mas veremos a seguir o domínio apropriado). Note que a solução é válida para
. Como a condição inicial está em
, podemos focar no intervalo
e substituir
.
Passo 6
Aplicar a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
em
obtemos
Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Passo 7
Simplificando a expressão para ficar mais compacta:
válida para
(isso inclui
, a condição inicial). Também poderia ser estendida para
com ajuste de sinal da constante, mas não é necessário aqui porque o ponto inicial está em
.
Passo 8
Cheque rápido (verificação): derivando
,
Então
confirmando que a solução encontrada satisfaz a equação diferencial.