Resolva os problemas de valor inicial:
y^{\prime}+\frac{2}{x} y=y com condição inicial y(1)=1

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que pede. O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial:
y' + \frac{2}{x}y = y
com a condição inicial
y(1)=1.
O que o problema pede: encontrar a função y(x) definida em um intervalo contendo x=1 que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Vamos reorganizar a equação para ver qual método é mais direto. Subtraindo y dos dois lados obtemos
y' = y - \frac{2}{x}y = y\Bigl(1-\frac{2}{x}\Bigr).
Aqui a equação está na forma onde a derivada de y é um produto de uma função de x por y. Isso permite usar o método de separação de variáveis, que é simples e direto: separar os termos em y de um lado e os termos em x do outro. Também poderia ser resolvida como uma equação linear de primeira ordem usando fator integrante, mas a separação é mais rápida neste caso.

Passo 3

Aplicando separação de variáveis: escrever \dfrac{dy}{dx}=y\Bigl(1-\dfrac{2}{x}\Bigr) e dividir por y (é permitido porque a condição inicial dá y(1)=1\neq0, então existe um intervalo ao redor de x=1 onde y não anula):
\frac{1}{y}\,dy = \Bigl(1-\frac{2}{x}\Bigr)\,dx.
Agora ambas as variáveis estão separadas: o lado esquerdo depende só de y e o direito só de x.

Passo 4

Integramos ambos os lados. A integral do lado esquerdo é a integral de 1/y, e a do lado direito é a integral de 1-2/x. Portanto
\int \frac{1}{y}\,dy = \int\Bigl(1-\frac{2}{x}\Bigr)\,dx.
Calcule as integrais passo a passo:
  • \displaystyle \int \frac{1}{y}\,dy = \ln|y|.
  • \displaystyle \int \Bigl(1-\frac{2}{x}\Bigr)\,dx = \int 1\,dx - 2\int \frac{1}{x}\,dx = x - 2\ln|x|.
Assim obtemos, com uma constante de integração C,
\ln|y| = x - 2\ln|x| + C.

Passo 5

Agora vamos resolver para y. Exponenciando ambos os lados:
|y| = e^{\,x - 2\ln|x| + C} = e^{C}\,e^{x}\,e^{-2\ln|x|}.
Usando e^{-2\ln|x|} = |x|^{-2} e chamando K=e^{C}>0, temos
|y| = K\,e^{x}\,|x|^{-2}.
Podemos incorporar o sinal possível em uma constante real A, obtendo a forma geral
y = A\,e^{x}\,x^{-2},
onde A é uma constante real arbitrária (para evitar problemas de sinal foi trocada a dependência em |x| por x, mas veremos a seguir o domínio apropriado). Note que a solução é válida para x\neq0. Como a condição inicial está em x=1>0, podemos focar no intervalo x>0 e substituir |x|=x.

Passo 6

Aplicar a condição inicial y(1)=1 para determinar A. Substituindo x=1 e y=1 em
y = A\,e^{x}\,x^{-2},
obtemos
1 = A\,e^{1}\,1^{-2} \quad\Rightarrow\quad A = e^{-1}.
Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x) = e^{-1}\,e^{x}\,x^{-2}.

Passo 7

Simplificando a expressão para ficar mais compacta:
y(x)=\frac{e^{x-1}}{x^{2}},
válida para x>0 (isso inclui x=1, a condição inicial). Também poderia ser estendida para x<0 com ajuste de sinal da constante, mas não é necessário aqui porque o ponto inicial está em x=1.

Passo 8

Cheque rápido (verificação): derivando y(x)=e^{x-1}x^{-2},
y' = e^{x-1}x^{-2} - 2e^{x-1}x^{-3} = e^{x-1}x^{-3}(x-2).
Então
y' + \frac{2}{x}y = e^{x-1}x^{-3}(x-2) + \frac{2}{x}\,e^{x-1}x^{-2} = e^{x-1}x^{-3}(x-2+2)=e^{x-1}x^{-2}=y,
confirmando que a solução encontrada satisfaz a equação diferencial.

Resposta

y(x)=\frac{e^{x-1}}{x^{2}}

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