Determine a ordem de grandeza do efeito isotópico nas velocidades relativas do deslocamento de
e
. A elevação da temperatura aumenta a diferença? Utilize os valores
e
.
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente estimar “qual é a ordem de grandeza” da diferença nas velocidades de vibração (ou deslocamento) dos átomos de hidrogênio leve (^1H) e pesado (^3H) num enlace C–H.
Conteúdo: vibração harmônica simples (modelo mola-massa), onde a velocidade típica do átomo vem de
Conteúdo: vibração harmônica simples (modelo mola-massa), onde a velocidade típica do átomo vem de
e a frequência angular é
Vamos precisar da constante de força do enlace C–H (dada:
) e das massas reduzidas (
) para ^1H e ^3H.
Passo 2
Primeiro, calcula a massa reduzida do sistema C–H para cada isótopo. Em unidades de massa atômica:
m©≈12 u, m(^1H)=1 u, m(^3H)=3 u.
A massa reduzida é
m©≈12 u, m(^1H)=1 u, m(^3H)=3 u.
A massa reduzida é
Para ^1H:
Para ^3H:
Passo 3
Agora, a frequência angular para cada isótopo é
Como a amplitude
da oscilação (para mesma energia térmica) e o fator
vão aparecer em ambas, a razão das velocidades características (seja
ou
) fica só na raiz das massas:
Passo 4
Isso significa que o ^1H vibra cerca de 1,6 vezes mais rápido que o ^3H, ou seja, a diferença é da ordem de
(fator de nenhuma grandeza de 10, mas um número da ordem de 1).
Passo 5
E o que muda com a temperatura?
Como tanto quanto
escalam com
, a razão
não depende de
. Em outras palavras, aquecer a amostra faz as duas velocidades subirem, mas mantém a mesma diferença relativa (~1,6).
Como tanto
Resposta
A ordem de grandeza da diferença nas velocidades de vibração de ^1H e ^3H é da ordem de
(fator ≃1,6). Elevar a temperatura aumenta ambas as velocidades, mas não altera essa diferença relativa.