Determine a ordem de grandeza do efeito isotópico nas velocidades relativas do deslocamento de ^1 H e ^3 H. A elevação da temperatura aumenta a diferença? Utilize os valores kf(C-H)=450 Nm^-1 e kf(C-O)=1750 Nm^-1.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente estimar “qual é a ordem de grandeza” da diferença nas velocidades de vibração (ou deslocamento) dos átomos de hidrogênio leve (^1H) e pesado (^3H) num enlace C–H.
Conteúdo: vibração harmônica simples (modelo mola-massa), onde a velocidade típica do átomo vem de
vmaxsimomega,Aou vrm rms=raizkB Tmu,,
e a frequência angular é
omega=raizkmu,
Vamos precisar da constante de força do enlace C–H (dada: ) e das massas reduzidas ( ) para ^1H e ^3H.

Passo 2

Primeiro, calcula a massa reduzida do sistema C–H para cada isótopo. Em unidades de massa atômica:
m©≈12 u, m(^1H)=1 u, m(^3H)=3 u.
A massa reduzida é
mu=mrm C,mrm Hmrm C+mrm H
Para ^1H:
mu1=12cdot112+1=1213approx0,923 u
Para ^3H:
mu3=12cdot312+3=3615=2,4 u

Passo 3

Agora, a frequência angular para cada isótopo é
omegai=raizkmui(i=1,3)
Como a amplitude v1v3 =omega1omega3 =raizmu3mu1 =raiz2,40,923 approxraiz2,6 approx1,6 da oscilação (para mesma energia térmica) e o fator vão aparecer em ambas, a razão das velocidades características (seja ou ) fica só na raiz das massas:

Passo 4

Isso significa que o ^1H vibra cerca de 1,6 vezes mais rápido que o ^3H, ou seja, a diferença é da ordem de (fator de nenhuma grandeza de 10, mas um número da ordem de 1).

Passo 5

E o que muda com a temperatura?
Como tanto quanto escalam com , a razão não depende de . Em outras palavras, aquecer a amostra faz as duas velocidades subirem, mas mantém a mesma diferença relativa (~1,6).

Resposta

A ordem de grandeza da diferença nas velocidades de vibração de ^1H e ^3H é da ordem de (fator ≃1,6). Elevar a temperatura aumenta ambas as velocidades, mas não altera essa diferença relativa.

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