Determine a ordem do polo de
em
e calcule res
onde
(iv)
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(iv)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar a ordem do polo da função $ f(z) = \frac{1}{z^{4} - z^{5}} $ no ponto $ a = 1 $ e, depois, calcular o resíduo de $ f $ nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são polos, a ordem deles e como calcular resíduos usando essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função $ f(z) $ para facilitar a análise:
Isso mostra que $ f(z) $ pode ser escrita como $ \frac{1}{z^{4}} \cdot \frac{1}{1 - z} $. Agora, queremos analisar o comportamento de $ f(z) $ perto de $ z = 1 $.
Passo 3
A função $ f(z) $ tem um denominador que se anula quando $ z^{4} - z^{5} = 0 $, ou seja, quando $ z = 0 $ ou $ z = 1 $. Estamos interessados no ponto $ a = 1 $. Para determinar a ordem do polo em $ z = 1 $, vamos verificar o fator $ (1 - z) $ no denominador.
Como o denominador tem o fator $ (1 - z) $ apenas uma vez e não há fatores de $ (1 - z) $ no numerador, isso significa que o polo em $ z = 1 $ é simples, ou seja, de ordem 1.
Passo 4
Agora, vamos calcular o resíduo de $ f(z) $ em $ z = 1 $. Para um polo simples, o resíduo pode ser calculado usando a fórmula:
Aplicando isso ao nosso caso, com $ a = 1 $:
Resposta
A ordem do polo de $ f $ em $ a = 1 $ é 1, e o resíduo de $ f $ nesse ponto é
.