Determine a ordem do polo de f em a e calcule res (f, a) onde
(v) f(z)=sen(1 / z)z^4-z^5, a=1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a ordem do polo da função $ f(z) = \frac{\sin\left(\frac{1}{z}\right)}{z^{4} - z^{5}} $ no ponto $ a = 1 $, e também para calcular o resíduo dessa função nesse ponto. Para fazer isso, vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente sobre polos e resíduos de funções complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um polo. Um polo de uma função é um ponto onde a função “explode”, ou seja, tende a infinito. A ordem do polo indica o quão “forte” é essa explosão. Para determinar a ordem do polo em $ a = 1 $, precisamos analisar o comportamento de $ f(z) $ quando $ z $ se aproxima de 1.

Passo 3

Vamos começar identificando os zeros do denominador, porque os polos ocorrem onde o denominador é zero (desde que o numerador não seja zero nesse ponto). O denominador da nossa função é $ z^{4} - z^{5} = z^{4}(1 - z) $.
Então, os zeros do denominador são:
  • $ z = 0 $ (com multiplicidade 4, porque $ z^{4} $)
  • $ z = 1 $ (com multiplicidade 1, porque $ 1 - z = 0 $ quando $ z = 1 $)

Passo 4

Como estamos interessados no ponto $ a = 1 $, vemos que o denominador se anula quando $ z = 1 $ e $ z = 1 $ é uma raiz simples (multiplicidade 1). Agora, vamos verificar o numerador nesse ponto.
O numerador é $ \sin\left(\frac{1}{z}\right) $. Avaliando em $ z = 1 $, temos $ \sin(1) $, que é um número finito e diferente de zero. Portanto, como o denominador se anula e o numerador não, $ z = 1 $ é um polo simples (ou de ordem 1) da função $ f(z) $.

Passo 5

Agora que sabemos que o polo em $ a = 1 $ é de ordem 1, vamos calcular o resíduo dessa função nesse ponto. O resíduo em um polo simples pode ser calculado usando a fórmula:
a = 1
Vamos aplicar essa fórmula para $ a = 1 $:
Res(f, a) = limz to a (z - a) f(z)

Passo 6

Simplificando a expressão dentro do limite:
Res(f, 1) = limz to 1 (z - 1) cdot sin(1z)z^4(1 - z)
Perceba que $ (z - 1) = -(1 - z) $, então podemos reescrever:
(z - 1) = -(1 - z)

Passo 7

Agora, substituímos $ z $ por 1 na expressão simplificada, já que não há mais indeterminação:
z

Resposta

A ordem do polo de $ f(z) $ em $ a = 1 $ é 1 e o resíduo é $ Res(f, 1) = -\sin(1) $.

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