Determine a ordem do polo de
em
e calcule res
onde
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que determinar a ordem do polo de $ f(z) = \frac{\cos z}{z^{3}(z-1)} $ em $ a = 0 $ e calcular o resíduo dessa função nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de análise complexa, especialmente sobre polos e resíduos. Precisamos entender o que é um polo, qual a sua ordem e como calcular o resíduo associado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que é um polo. Em análise complexa, um polo de uma função é um ponto onde a função tende ao infinito. A ordem do polo indica quão “forte” é esse infinito. Para $ f(z) $ em $ a = 0 $, observamos que o denominador tem um termo $ z^3 $, então temos um polo aí.
Passo 3
Para determinar a ordem do polo, analisamos o expoente de $ z $ no denominador. Como temos $ z^3 $, isso sugere que o polo em $ z = 0 $ é de ordem 3. Ou seja, a função tende ao infinito de maneira inversamente cúbica quando $ z $ se aproxima de 0.
Passo 4
Agora, vamos calcular o resíduo de $ f(z) $ em $ a = 0 $. O resíduo é o coeficiente de $ (z - a)^{-1} $ na expansão em série de Laurent da função ao redor de $ a $. Como o polo é de ordem 3, usamos a fórmula do resíduo para polos de ordem $ n $:
No nosso caso, $ n = 3 $ e $ a = 0 $:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a segunda derivada de $ \frac{\cos z}{z - 1} $ em $ z = 0 $. Primeiro, calculamos a primeira derivada:
Em seguida, a segunda derivada:
Essa derivada é um pouco trabalhosa, mas ao calcular e simplificar, e depois substituir $ z = 0 $, obteremos o valor necessário.
Passo 6
Após realizar as derivadas necessárias e substituir $ z = 0 $, encontramos que:
Então, substituindo de volta na fórmula do resíduo:
Resposta
O polo de $ f(z) = \frac{\cos z}{z^{3}(z-1)} $ em $ a = 0 $ é de ordem 3 e o resíduo nesse ponto é -1.