Determine a ordem do polo de
em
e calcule res
onde
(ii)
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(ii)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir duas coisas sobre a função $ f(z) = \frac{e{-z}}{z{n+1}} $ no ponto $ a = 0 $:
- Ordem do polo: Isso significa descobrir até que ponto a função “explode” perto de $ a = 0 $.
- Residuo de $ f $ em $ a $: Isso é tipo a “essência” da função naquele ponto específico.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre polos e resíduos em análise complexa. Mas relaxa que vou explicar passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre polo. Um polo de uma função é um ponto onde a função vai para o infinito. A ordem do polo indica quão rápido isso acontece. Por exemplo, se a função tem um termo $ \frac{1}{z} $, é um polo de ordem 1. Se for $ \frac{1}{z^2} $, é de ordem 2, e assim por diante.
No nosso caso, a função é $ f(z) = \frac{e{-z}}{z{n+1}} $. Olhando pro denominador, vemos $ z^{n+1} $, que sugere que $ z = 0 $ pode ser um polo.
Passo 3
Agora, vamos ver se realmente é um polo e determinar sua ordem. A função $ e^{-z} $ pode ser expandida em série de Taylor:
Como conseguimos ver, essa série não tem termos com $ \frac{1}{z} $, então o único “problema” vem do denominador $ z^{n+1} $.
Isso significa que em $ z = 0 $, a função $ f(z) $ se comporta como $ \frac{1}{z^{n+1}} $ vezes uma série que é finita. Portanto, $ z = 0 $ é um polo de ordem $ n + 1 $.
Passo 4
Agora, vamos calcular o resíduo de $ f(z) $ em $ z = 0 $. O resíduo é basicamente o coeficiente do termo $ \frac{1}{z} $ na expansão em série de Laurent da função perto do ponto $ a = 0 $.
Nossa função é $ f(z) = \frac{e{-z}}{z{n+1}} $. Usando a série de Taylor que já escrevemos:
Simplificando os termos:
Para encontrar o resíduo, precisamos identificar o coeficiente de $ \frac{1}{z} $. Observando a série, o termo $ \frac{1}{z} $ aparece quando o expoente de $ z $ é $ -1 $, o que ocorre quando $ n + 1 - k = 1 $, onde $ k $ é o índice da série.
Resolvendo $ n + 1 - k = 1 $ dá $ k = n $. Então, o resíduo é o coeficiente do termo correspondente ao $ k = n $.
Passo 5
Para encontrar o resíduo, vamos focar no termo onde $ k = n $:
Isso vem da expansão da série $ e^{-z} $, onde o coeficiente geral é $ \frac{(-1)^k}{k!} $ para o termo $ z^k $. Quando $ k = n $, temos $ \frac{(-1)^n}{n!} $.
Resposta
A ordem do polo de $ f $ em $ a = 0 $ é $ n + 1 $ e o resíduo de $ f $ em $ a $ é $ \dfrac{(-1)^n}{n!} $.