Determine a ordem do polo de
em
e calcule res
onde
(vi)
;
(vi)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a ordem do polo da função $ f(z) = \frac{z}{1 - \cos z} $ no ponto $ a = 0 $ e calcular o resíduo dessa função nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente sobre polos e resíduos. Precisamos entender o que é um polo e como determinar sua ordem, além de saber calcular o resíduo associado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de singularidade que $ a = 0 $ representa para a função $ f(z) $. Um polo é um tipo de singularidade onde a função tende ao infinito quando $ z $ se aproxima de $ a $. A ordem do polo é o menor número inteiro $ n $ tal que $ (z - a)^n f(z) $ seja analítica (não tem singularidade) em $ z = a $.
Passo 3
Vamos analisar o denominador $ 1 - \cos z $. Sabemos que a série de Taylor para $ \cos z $ em torno de $ z = 0 $ é:
Então, $ 1 - \cos z = \frac{z^2}{2} - \frac{z^4}{24} + \cdots $. Isso mostra que $ 1 - \cos z $ tem um zero de ordem 2 em $ z = 0 $.
Passo 4
Agora, vamos olhar para a função $ f(z) = \frac{z}{1 - \cos z} $. Como o denominador tem um zero de ordem 2 e o numerador tem um zero de ordem 1 (porque é apenas $ z $), a função $ f(z) $ tem uma singularidade do tipo pólo em $ z = 0 $. A ordem do pólo é a diferença entre a ordem do zero do denominador e a ordem do zero do numerador: $ 2 - 1 = 1 $. Portanto, $ a = 0 $ é um pólo de ordem 1.
Passo 5
Agora, vamos calcular o resíduo de $ f(z) $ em $ z = 0 $. Para um pólo simples (ordem 1), o resíduo pode ser encontrado usando:
Usando a série de Taylor novamente:
Então,
Portanto, o limite é 2.
Resposta
A ordem do pólo de $ f $ em $ a = 0 $ é 1 e o resíduo $ res(f, 0) $ é igual a 2.