Determine a ordem dos polos da função dada.
f(z)=3 z-1z^2+2 z+5

Passo 1

O exercício nos dá a função f(z)=3z-1z^2+2z+5 e pede para determinar a ordem dos polos. O conteúdo aqui é singularidades de funções racionais no plano complexo, mais especificamente polos e suas ordens.

Passo 2

Para encontrar os polos, precisamos achar onde o denominador se anula, ou seja resolver z^2 + 2z + 5 = 0. Usando a fórmula de Bhaskara:
z = -2 pm raiz4 - 202 = -2 pm raiz-162 = -1 pm 2i

Passo 3

Cada solução do denominador dá um polo de f(z), desde que o numerador não anule nessas mesmas raízes (e aqui 3z-1 não anula em z=-1pm2i).

Passo 4

Para determinar a ordem de cada polo, observamos a multiplicidade de cada raiz no denominador. Como z^2+2z+5 se fatoriza como (z - (-1+2i))(z - (-1-2i)) com raízes distintas, cada raiz aparece apenas uma vez.
Portanto, cada polo é simples, ou seja, de ordem 1.

Resposta

Os polos de f(z) são z=-1+2i e z=-1-2i, ambos de ordem 1 (polos simples).

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