Determine os zeros e suas ordens para a função dada.
f(z)=e^2 z-e^z

Passo 1

Temos a função inteira f(z)=e^2z-e^z. O tema é análise complexa: zeros de funções inteiras e suas ordens. Vamos precisar usar fatoração e analisar multiplicidades.

Passo 2

Fatoramos f(z) extraindo o fator e^z:
f(z)=e^2z-e^z=e^zl(e^z-1r)

Passo 3

Para encontrar os zeros, igualamos f(z)=0. Como e^z nunca zera, o único fator que produz zero é e^z-1=0. Logo:
e^z=1implies z=2pi i k, kin Z

Passo 4

Para verificar a ordem de cada zero zk=2pi i k, notamos que e^z-1 tem zeros simples onde e^z=1 porque sua derivada é (e^z-1)'=e^z e e^2pi i k=1neq0. Assim cada zero é de ordem 1.

Resposta

Os zeros são zk=2pi i k, kin Z, e cada um é de ordem 1.

Exercícios relacionados