Determine os zeros e suas ordens para a função dada.
f(z)=z^4+z^2

Passo 1

Nesse exercício vamos identificar os zeros e suas ordens para a função fatorial de polinômio em variáveis complexas, usando fatoração e a definição de multiplicidade de raízes.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a função dada:
f(z)=z^4+z^2
Em seguida, reconhecemos que podemos fatorar o polinômio extraindo o fator comum z^2:
z^4+z^2=z^2,(z^2+1)

Passo 3

Isso mostra que um zero é z=0 e que ele aparece com multiplicidade 2 (pois o fator z está elevado a 2).

Passo 4

Agora, resolvemos a equação z^2+1=0 para encontrar os demais zeros. Igualando a zero:
z^2+1=0 Longrightarrow z^2=-1
Tomando a raiz quadrada no conjunto dos complexos, obtemos as soluções z=i e z=-i. Cada uma dessas raízes surge de um fator linear simples, então tem multiplicidade 1.

Resposta

Os zeros de f(z) são:
z=0 com ordem 2
z=i com ordem 1
z=-i com ordem 1

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