Determine se a origem é ponto de mínimo, de máximo ou sela de:
.
Passo 1
O problema pede pra gente classificar o ponto (0,0) da função z=2x²+y²−3xy, ou seja, decidir se lá é mínimo, máximo ou ponto de sela. O conteúdo é análise de pontos críticos em funções de duas variáveis, e vamos precisar calcular derivadas parciais, encontrar o ponto crítico e usar o teste da Hessiana.
Passo 2
Primeiro achamos as derivadas parciais:
A derivada em relação a x é
A derivada em relação a x é
E em relação a y é
Para achar pontos críticos, a gente iguala as duas a zero. Resolvendo o sistema
fica claro que a única solução é x=0 e y=0, logo (0,0) é o ponto crítico.
Passo 3
Agora montamos a matriz Hessiana, cujos elementos são as segundas derivadas:
Portanto
Passo 4
No teste de segunda derivada para duas variáveis usamos o determinante da Hessiana em (0,0):
Como D<0, isso indica que o ponto crítico é de sela.
Passo 5
Logo, a origem é um ponto de sela para z=2x²+y²−3xy.
Resposta
Ponto de sela.