Determine se a origem é ponto de mínimo, de máximo ou sela de: z=2 x^2+y^2-3 x y.

Passo 1

O problema pede pra gente classificar o ponto (0,0) da função z=2x²+y²−3xy, ou seja, decidir se lá é mínimo, máximo ou ponto de sela. O conteúdo é análise de pontos críticos em funções de duas variáveis, e vamos precisar calcular derivadas parciais, encontrar o ponto crítico e usar o teste da Hessiana.

Passo 2

Primeiro achamos as derivadas parciais:
A derivada em relação a x é
partial zpartial x=4x-3y
E em relação a y é
partial zpartial y=2y-3x
Para achar pontos críticos, a gente iguala as duas a zero. Resolvendo o sistema
4x-3y=0,
2y-3x=0,
fica claro que a única solução é x=0 e y=0, logo (0,0) é o ponto crítico.

Passo 3

Agora montamos a matriz Hessiana, cujos elementos são as segundas derivadas:
fxx=partial^2 zpartial x^2=4,
fyy=partial^2 zpartial y^2=2,
fxy=fyx=partial^2 zpartial xpartial y=-3
Portanto
H=4 & -3 -3 & 2

Passo 4

No teste de segunda derivada para duas variáveis usamos o determinante da Hessiana em (0,0):
D = fxxfyy - (fxy)^2 = 4cdot2 - (-3)^2 =8-9 = -1
Como D<0, isso indica que o ponto crítico é de sela.

Passo 5

Logo, a origem é um ponto de sela para z=2x²+y²−3xy.

Resposta

Ponto de sela.

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