Determine se a origem é ponto de mínimo, de máximo ou sela de: z=x^2-4 y^2.

Passo 1

Estamos analisando a função z = x^2 - 4y^2, cujo conteúdo é classificação de pontos críticos em funções de duas variáveis. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais, encontrar os pontos críticos e usar o teste da segunda derivada (Hessiano).

Passo 2

Primeiro, calculamos o gradiente e identificamos o ponto crítico. As derivadas parciais são: fx = 2x e fy = -8y. Igualando-as a zero, temos 2x = 0 e -8y = 0, o que dá como único ponto crítico a origem (0,0).
Em seguida, determinamos as derivadas de segunda ordem para montar o Hessiano. Temos fxx = 2, fyy = -8 e fxy = fyx = 0. Assim, o Hessiano em (0,0) é
H = 2 & 0[4pt]0 & -8

Passo 3

Finalmente, aplicamos o teste da segunda derivada. Calculamos o discriminante D = fxxfyy - (fxy)^2 = 2 cdot (-8) - 0 = -16, que é negativo. Um D < 0 indica que o Hessiano é indefinido, ou seja, a origem é um ponto de sela.

Resposta

A origem é ponto de sela.

Exercícios relacionados