Determine se a origem é ponto de mínimo, de máximo ou sela de:
.
Passo 1
Estamos analisando a função
, cujo conteúdo é classificação de pontos críticos em funções de duas variáveis. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais, encontrar os pontos críticos e usar o teste da segunda derivada (Hessiano).
Passo 2
Primeiro, calculamos o gradiente e identificamos o ponto crítico. As derivadas parciais são:
e
. Igualando-as a zero, temos
e
, o que dá como único ponto crítico a origem
.
Em seguida, determinamos as derivadas de segunda ordem para montar o Hessiano. Temos ,
e
. Assim, o Hessiano em
é
Em seguida, determinamos as derivadas de segunda ordem para montar o Hessiano. Temos
Passo 3
Finalmente, aplicamos o teste da segunda derivada. Calculamos o discriminante
, que é negativo. Um
indica que o Hessiano é indefinido, ou seja, a origem é um ponto de sela.
Resposta
A origem é ponto de sela.