Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
em absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries: vamos usar o teste da integral (ou comparação) para a convergência absoluta e o critério de Leibniz para a convergência condicional de séries alternadas.
Passo 2
Para ver se a série converge absolutamente, consideramos
Estudamos a série sum1/ln(n+1) por comparação com a integral integral2^inftydxln x
Sabemos que integral2^inftydx/ln x é a função log-integral, que diverge. Logo sum1/ln(n+1) diverge e, portanto, a convergência absoluta falha.
Passo 3
Agora aplicamos o critério de Leibniz à série original
sumn=1^infty(-1)^n+17ln(n+1)
Definimos bn=7/ln(n+1). Observamos que:
1) bn>0 para todo n>=1.
2) bn é decrescente: basta ver que a derivada de f(x)=1/ln(x+1) é negativa para x>=1.
3) limntoinftybn=limntoinfty7/ln(n+1)=0
Como essas condições são satisfeitas, pelo critério de Leibniz a série converge.
Passo 4
Já que não converge absolutamente, mas converge pelo critério de Leibniz, concluímos que a série é condicionalmente convergente.