Seja f(x, y)=x^2 y.
Determine a taxa de variação de f no ponto P=(1,1) na direção do vetor v=(-1,1), isto é, a derivada direcional de f em P na direção de v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e queremos descobrir qual a taxa de variação dessa função no ponto na direção do vetor . Isso significa que queremos saber quão rápido está mudando naquele ponto específico na direção apontada por . Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que envolve calcular o gradiente da função e o vetor unitário na direção de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Para a nossa função:
partial fpartial x = 2xy e partial fpartial y = x^2
Calculando cada derivada parcial:
nabla f = (2xy, x^2)
Então, o gradiente fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto nabla f(1,1) = (2 cdot 1 cdot 1, 1^2) = (2, 1) . Substituindo e na expressão do gradiente:

Passo 4

Em seguida, precisamos obter um vetor unitário na direção de |v| = raiz(-1)^2 + 1^2 = raiz1 + 1 = raiz2 . Um vetor unitário tem comprimento 1 e aponta na mesma direção do vetor original. A fórmula para normalizar um vetor é dividir cada componente pelo seu comprimento (ou módulo). O módulo de u = ( -1raiz2, 1raiz2 ) é:
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada direcional de Dvf = nabla f(1,1) cdot u = (2, 1) cdot ( -1raiz2, 1raiz2 ) em Dvf = 2 cdot ( -1raiz2 ) + 1 cdot ( 1raiz2 ) = -2raiz2 + 1raiz2 = -1raiz2 na direção de . A fórmula para a derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Fazendo o produto escalar:

Resposta

A taxa de variação de no ponto na direção de é .

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