Seja
.
Determine a taxa de variação de
no ponto
na direção do vetor
, isto é, a derivada direcional de
em
na direção de
.
Determine a taxa de variação de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e queremos descobrir qual a taxa de variação dessa função no ponto
na direção do vetor
. Isso significa que queremos saber quão rápido
está mudando naquele ponto específico na direção apontada por
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que envolve calcular o gradiente da função e o vetor unitário na direção de
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Para a nossa função:
Calculando cada derivada parcial:
Então, o gradiente fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
. Substituindo
e
na expressão do gradiente:
Passo 4
Em seguida, precisamos obter um vetor unitário na direção de
. Um vetor unitário tem comprimento 1 e aponta na mesma direção do vetor original. A fórmula para normalizar um vetor é dividir cada componente pelo seu comprimento (ou módulo). O módulo de
é:
Então, o vetor unitário
na direção de
é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada direcional de
em
na direção de
. A fórmula para a derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Fazendo o produto escalar:
Resposta
A taxa de variação de
no ponto
na direção de
é
.