Determine os pontos críticos de: w=x^2+y^3+z^4

Passo 1

Vamos encontrar os pontos críticos da função de três variáveis usando derivadas parciais e igualando-as a zero. O conteúdo é cálculo de pontos críticos. Precisamos usar a definição de ponto crítico: resolver ∇w=0, ou seja, todas as derivadas parciais de w em relação a x, y e z devem ser nulas.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
Da definição de derivada parcial, temos em linha de comando que
partial wpartial x=2x,
partial wpartial y=3y^2,
partial wpartial z=4z^3

Passo 3

Agora formamos o sistema ∇w=0 e resolvemos:
2x=0,
3y^2=0,
4z^3=0

Passo 4

Resolvendo cada equação do sistema:
Da primeira vem x=0.
Da segunda vem y^2=0, logo y=0.
Da terceira vem z^3=0, logo z=0.
Portanto, o único ponto que anula todas as derivadas parciais é (0,0,0).

Resposta

O único ponto crítico de w=x{2}+y{3}+z^{4} é (0,0,0).

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