Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série em absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo envolve teste de série alternada (critérios de Leibniz) e teste de séries de p-termos (p-séries).
Passo 2
Primeiro, estudamos a convergência absoluta. Analisamos a série dos valores absolutos:
Esta é uma p-série com p = tfrac23 <= 1. Sabemos que p-séries convergem só se p>1. Como tfrac23 <= 1, esta série diverge. Logo, não é absolutamente convergente.
Passo 3
Agora, verificamos a convergência condicional usando o teste de Leibniz para séries alternadas. Para isso, definimos
an = 1n^2/3
Temos que:
an > 0 para todo n.
an é decrescente, pois a função f(x)=x^-2/3 é decrescente para x>0.
limntoinftyan = limntoinfty1n^2/3 = 0
Pelo critério de Leibniz, a série alternada sum (-1)^n-1an converge.
Passo 4
Como a série original não converge absolutamente mas converge pelo teste de Leibniz, concluímos que ela é condicionalmente convergente.