Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
6 sumn=1^infty(-1)^n-1 1n^2 / 3

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série 6 sumn=1^infty(-1)^n-1 1n^2/3 em absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo envolve teste de série alternada (critérios de Leibniz) e teste de séries de p-termos (p-séries).

Passo 2

Primeiro, estudamos a convergência absoluta. Analisamos a série dos valores absolutos:
6sumn=1^infty|(-1)^n-1 1n^2/3| = 6sumn=1^infty1n^2/3
Esta é uma p-série com p = tfrac23 <= 1. Sabemos que p-séries convergem só se p>1. Como tfrac23 <= 1, esta série diverge. Logo, não é absolutamente convergente.

Passo 3

Agora, verificamos a convergência condicional usando o teste de Leibniz para séries alternadas. Para isso, definimos
an = 1n^2/3
Temos que:
  • an > 0 para todo n.
  • an é decrescente, pois a função f(x)=x^-2/3 é decrescente para x>0.
  • limntoinftyan = limntoinfty1n^2/3 = 0
    Pelo critério de Leibniz, a série alternada sum (-1)^n-1an converge.

Passo 4

Como a série original não converge absolutamente mas converge pelo teste de Leibniz, concluímos que ela é condicionalmente convergente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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