Determine as coordenadas do ponto mais próximo da extremidade B ao dividirmos o segmento \overline{A B} em quatro partes congruentes, sendo A=(-1,3,2) e B=(3,-5,6).

Passo 1

O enunciado pede: “Determine as coordenadas do ponto mais próximo da extremidade B ao dividirmos o segmento \overline{AB} em quatro partes congruentes”, com os extremos dados:
A = (-1,3,2),\qquad B = (3,-5,6).
Informações relevantes: ao dividir o segmento \overline{AB} em quatro partes congruentes obtemos três pontos internos que oparticionam em quatro subsegmentos de igual comprimento; queremos o desses três pontos que está mais próximo de B.

Passo 2

Ideia geométrica e parâmetro: qualquer ponto P no segmento \overline{AB} pode ser escrito como
P = A + t\,(B-A),
onde t varia de 0 a 1. Aqui t=0 P=A e t=1 P=B. O vetor B-A é o vetor diretor do segmento e t é a fração do caminho de A até B que se percorre.

Passo 3

Quando dividimos \overline{AB} em quatro partes congruentes, os pontos de divisão correspondem a
t=\frac{1}{4},\quad t=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\quad t=\frac{3}{4}.
Desses, o que está mais próximo de B é o que tem t=\dfrac{3}{4} (pois é o que fica mais perto de t=1).

Passo 4

Calculemos o vetor B-A:
B-A = (3,-5,6) - (-1,3,2).
Subtraindo coordenada a coordenada:
B-A = (3-(-1),\; -5-3,\; 6-2) = (4,-8,4).

Passo 5

Multiplicamos esse vetor por t=\dfrac{3}{4}:
\frac{3}{4}(B-A) = \frac{3}{4}(4,-8,4).
Façamos coordenada a coordenada:
\frac{3}{4}\cdot 4 = 3,\qquad \frac{3}{4}\cdot(-8) = -6,\qquad \frac{3}{4}\cdot 4 = 3.
Logo
\frac{3}{4}(B-A) = (3,-6,3).

Passo 6

Agora somamos a A para obter o ponto buscado:
P = A + \frac{3}{4}(B-A).
Fazendo a soma coordenada a coordenada:
P = (-1,3,2) + (3,-6,3) = (-1+3,\; 3-6,\; 2+3).
Calculando:
P = (2,-3,5).

Resposta

(2,-3,5)

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