Determine o perímetro do triângulo de vértices A=(3,0,0), B=(0,5,0) e C=(0,0,8). resp. 2 p= \sqrt{34}+\sqrt{89}+\sqrt{73}

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos três vértices do triângulo e pede o perímetro. Informações fornecidas:
\;A=(3,0,0),
\;B=(0,5,0),
\;C=(0,0,8).
Pergunta: determinar o perímetro do triângulo com vértices A, B e C.

Passo 2

Primeiro precisamos saber como calcular a distância entre dois pontos no espaço tridimensional. Vou te explicar devagarinho e com motivo: a fórmula vem do Teorema de Pitágoras aplicado em 3D. Se temos dois pontos
\;P_1=(x_1,y_1,z_1) e \;P_2=(x_2,y_2,z_2),
então a diferença nas coordenadas é
\;\Delta x = x_2-x_1,
\;\Delta y = y_2-y_1,
\;\Delta z = z_2-z_1.
A distância entre os pontos é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujo quadrado do comprimento é a soma dos quadrados das diferenças nas três direções. Assim a fórmula é
\text{dist}(P_1,P_2)=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}.
Aqui \Delta x,\Delta y,\Delta z são números (diferenças de coordenadas) e o símbolo \sqrt{\cdot} significa raiz quadrada. Essa é a ferramenta que usaremos para cada lado do triângulo.

Passo 3

Calcular a aresta \;AB. Subtrai coordenadas:
\;\Delta x = 0-3=-3,
\;\Delta y = 5-0=5,
\;\Delta z = 0-0=0.
Agora eleva ao quadrado e soma:
(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2 = (-3)^2+5^2+0^2 = 9+25+0 = 34.
Logo o comprimento de \;AB é
\;AB=\sqrt{34}.

Passo 4

Calcular a aresta \;BC. Subtrai coordenadas:
\;\Delta x = 0-0=0,
\;\Delta y = 0-5=-5,
\;\Delta z = 8-0=8.
Eleva ao quadrado e soma:
(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2 = 0^2+(-5)^2+8^2 = 0+25+64 = 89.
Logo o comprimento de \;BC é
\;BC=\sqrt{89}.

Passo 5

Calcular a aresta \;CA. Subtrai coordenadas:
\;\Delta x = 3-0=3,
\;\Delta y = 0-0=0,
\;\Delta z = 0-8=-8.
Eleva ao quadrado e soma:
(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2 = 3^2+0^2+(-8)^2 = 9+0+64 = 73.
Logo o comprimento de \;CA é
\;CA=\sqrt{73}.

Passo 6

O perímetro P do triângulo é a soma dos comprimentos dos três lados:
\;P = AB + BC + CA.
Já encontramos AB=\sqrt{34}, BC=\sqrt{89} e CA=\sqrt{73}. Na seção de resposta final eu apresento essa soma no formato pedido.

Resposta

2p=\sqrt{34}+\sqrt{89}+\sqrt{73}

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