Determine P , pertencente a bissetriz dos quadrantes pares, equidistante de \mathrm{A}(8,-8) e \mathrm{B}(2,-2).

Passo 1

O enunciado dá dois pontos no plano e uma condição sobre P:
  • Ponto A: (8,-8).
  • Ponto B: (2,-2).
  • Pede-se determinar o ponto P que pertence à bissetriz dos quadrantes pares e que é equidistante de A e B.
Resumo do que precisa ser encontrado:
  • As coordenadas de P tal que P está na bissetriz dos quadrantes pares e \text{dist}(P,A)=\text{dist}(P,B).

Passo 2

Entender a condição “bissetriz dos quadrantes pares”. Os quadrantes pares são o segundo e o quarto quadrante. Um ponto está na bissetriz desses dois quadrantes quando suas coordenadas têm sinais opostos (ou é a origem). A reta cujos pontos têm coordenadas opostas é a reta
y=-x.
Explicação curta: se um ponto tem coordenada x>0 então y=-x<0 (é quarto quadrante); se x<0 então y=-x>0 (é segundo quadrante). Portanto a bissetriz pedida é a reta \;y=-x.

Passo 3

Parametrizar P sobre a reta \;y=-x. Seja t um número real; então qualquer ponto P na bissetriz pode ser escrito como
P=(t,-t).
Aqui t representa a abscissa de P; a ordenada é -t por causa de y=-x.

Passo 4

Usar a condição de equidistância. A distância entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é dada por
\text{dist}((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}.
Como queremos \text{dist}(P,A)=\text{dist}(P,B), é mais simples igualar os quadrados das distâncias (eliminando a raiz), pois a raiz é função estritamente crescente para valores não-negativos. Assim exigimos
\text{dist}(P,A)^2=\text{dist}(P,B)^2.

Passo 5

Calcular os quadrados das distâncias em função de t.
Distância ao ponto A(8,-8):
\text{dist}(P,A)^2=(t-8)^2+(-t-(-8))^2=(t-8)^2+(8-t)^2.
Observação útil: (8-t)^2=(t-8)^2, então
\text{dist}(P,A)^2=2(t-8)^2.
Distância ao ponto B(2,-2):
\text{dist}(P,B)^2=(t-2)^2+(-t-(-2))^2=(t-2)^2+(2-t)^2=2(t-2)^2.

Passo 6

Igualar os quadrados das distâncias e resolver para t:
2(t-8)^2=2(t-2)^2.
Dividindo ambos os lados por 2 (não zero),
(t-8)^2=(t-2)^2.
Isto implica que ou t-8=t-2 ou t-8=-(t-2).
  • Caso t-8=t-2: simplificando dá -8=-2, impossível.
  • Caso t-8=-(t-2): então t-8=-t+2. Somando t em ambos os lados e somando 8 em ambos os lados:
2t=10 \quad\Rightarrow\quad t=5.
Portanto t=5 é a solução válida.

Passo 7

Obter as coordenadas de P. Como P=(t,-t) e t=5, temos
P=(5,-5).
Verificação rápida (cheia de carinho para a prova): distância até A
\sqrt{(5-8)^2+(-5+8)^2}=\sqrt{(-3)^2+3^2}=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2},
distância até B
\sqrt{(5-2)^2+(-5+2)^2}=\sqrt{3^2+(-3)^2}=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2},
são iguais, então está correto.

Resposta

P=(5,-5)

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