Determine P , pertencente a bissetriz dos quadrantes pares, equidistante de
e
.
Passo 1
O enunciado dá dois pontos no plano e uma condição sobre
:
- Ponto
: . - Ponto
: . - Pede-se determinar o ponto
que pertence à bissetriz dos quadrantes pares e que é equidistante de e .
Resumo do que precisa ser encontrado:
- As coordenadas de
tal que está na bissetriz dos quadrantes pares e .
Passo 2
Entender a condição “bissetriz dos quadrantes pares”. Os quadrantes pares são o segundo e o quarto quadrante. Um ponto está na bissetriz desses dois quadrantes quando suas coordenadas têm sinais opostos (ou é a origem). A reta cujos pontos têm coordenadas opostas é a reta
Explicação curta: se um ponto tem coordenada
então
(é quarto quadrante); se
então
(é segundo quadrante). Portanto a bissetriz pedida é a reta
.
Passo 3
Parametrizar
sobre a reta
. Seja
um número real; então qualquer ponto
na bissetriz pode ser escrito como
Aqui
representa a abscissa de
; a ordenada é
por causa de
.
Passo 4
Usar a condição de equidistância. A distância entre dois pontos
e
é dada por
Como queremos
, é mais simples igualar os quadrados das distâncias (eliminando a raiz), pois a raiz é função estritamente crescente para valores não-negativos. Assim exigimos
Passo 5
Calcular os quadrados das distâncias em função de
.
Distância ao ponto
:
Observação útil:
, então
Distância ao ponto
:
Passo 6
Igualar os quadrados das distâncias e resolver para
:
Dividindo ambos os lados por
(não zero),
Isto implica que ou
ou
.
- Caso
: simplificando dá , impossível. - Caso
: então . Somando em ambos os lados e somando em ambos os lados:
Portanto
é a solução válida.
Passo 7
Obter as coordenadas de
. Como
e
, temos
Verificação rápida (cheia de carinho para a prova): distância até
distância até
são iguais, então está correto.