Determine
, pertencente ao eixo
, sabendo que é equidistante aos pontos
e
.
Passo 1
O enunciado dá dois pontos
e
e pede um ponto
que pertence ao eixo
(ou seja, sua ordenada é zero) e que seja equidistante de
e
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Coordenadas de
: . - Coordenadas de
: . -
pertence ao eixo ⇒ tem forma para algum . - Condição a satisfazer: a distância de
a é igual à distância de a .
Passo 2
Representar
de forma conveniente. Como
está no eixo
, escrevemos
onde
é a incógnita que vamos determinar.
Passo 3
Lembrar e explicar a fórmula da distância entre dois pontos do plano. Para pontos
e
a distância é
Aqui
é a diferença de abscissas (distância horizontal) e
é a diferença de ordenadas (distância vertical); o quadrado da hipotenusa do triângulo retângulo formado pelas diferenças dá a soma dos quadrados, e a raiz dá a distância geométrica.
Passo 4
Aplicar a fórmula da distância para
e
com
,
e
. A condição
fica
Aqui usei explicitamente que peguei as coordenadas de
e
do enunciado.
Passo 5
Simplificar os termos constantes dentro das raízes:
e
. Assim
Para eliminar as raízes, elevamos ambos os lados ao quadrado. Isso é válido porque ambas as expressões à esquerda e à direita representam distâncias (não-negativas), então não introduzimos soluções espúrias ao quadrar. Ao quadrar obtemos
Passo 6
Desenvolver os quadrados e resolver a equação resultante passo a passo.
Calcular
e
:
Substituindo na equação:
Somando termos constantes:
Subtrair
de ambos os lados (eles se cancelam) e agrupar termos em
:
Passar
para a esquerda e
para a direita:
Dividir por
:
Passo 7
Encontramos
, logo
Fazer uma verificação rápida das distâncias para confirmar:
Distância :
Distância
Distância
:
As distâncias coincidem, então
satisfaz a condição.