Determine P, pertencente ao eixo x, sabendo que é equidistante aos pontos \mathrm{A}(1,3) e \mathrm{B}(-3,5).

Passo 1

O enunciado dá dois pontos \mathrm{A}(1,3) e \mathrm{B}(-3,5) e pede um ponto P que pertence ao eixo x (ou seja, sua ordenada é zero) e que seja equidistante de A e B.
Informações relevantes:
  • Coordenadas de A: (1,3).
  • Coordenadas de B: (-3,5).
  • P pertence ao eixo x P tem forma (x,0) para algum x\in\mathbb{R}.
  • Condição a satisfazer: a distância de P a A é igual à distância de P a B.

Passo 2

Representar P de forma conveniente. Como P está no eixo x, escrevemos
P=(x,0),
onde x é a incógnita que vamos determinar.

Passo 3

Lembrar e explicar a fórmula da distância entre dois pontos do plano. Para pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) a distância é
\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
Aqui (x_2-x_1) é a diferença de abscissas (distância horizontal) e (y_2-y_1) é a diferença de ordenadas (distância vertical); o quadrado da hipotenusa do triângulo retângulo formado pelas diferenças dá a soma dos quadrados, e a raiz dá a distância geométrica.

Passo 4

Aplicar a fórmula da distância para PA e PB com P=(x,0), A=(1,3) e B=(-3,5). A condição PA=PB fica
\sqrt{(x-1)^2+(0-3)^2}=\sqrt{(x+3)^2+(0-5)^2}.
Aqui usei explicitamente que peguei as coordenadas de A e B do enunciado.

Passo 5

Simplificar os termos constantes dentro das raízes: (0-3)^2=9 e (0-5)^2=25. Assim
\sqrt{(x-1)^2+9}=\sqrt{(x+3)^2+25}.
Para eliminar as raízes, elevamos ambos os lados ao quadrado. Isso é válido porque ambas as expressões à esquerda e à direita representam distâncias (não-negativas), então não introduzimos soluções espúrias ao quadrar. Ao quadrar obtemos
(x-1)^2+9=(x+3)^2+25.

Passo 6

Desenvolver os quadrados e resolver a equação resultante passo a passo.
Calcular (x-1)^2 e (x+3)^2:
(x-1)^2 = x^2-2x+1, \qquad (x+3)^2 = x^2+6x+9.
Substituindo na equação:
x^2-2x+1 + 9 = x^2+6x+9 + 25.
Somando termos constantes:
x^2-2x+10 = x^2+6x+34.
Subtrair x^2 de ambos os lados (eles se cancelam) e agrupar termos em x:
-2x+10 = 6x+34.
Passar 6x para a esquerda e 10 para a direita:
-2x-6x = 34-10
-8x = 24.
Dividir por -8:
x = -3.

Passo 7

Encontramos x=-3, logo
P = (-3,0).
Fazer uma verificação rápida das distâncias para confirmar:
Distância PA:
PA=\sqrt{(-3-1)^2+(0-3)^2}=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.
Distância PB:
PB=\sqrt{(-3+3)^2+(0-5)^2}=\sqrt{0^2+(-5)^2}=\sqrt{25}=5.
As distâncias coincidem, então P=(-3,0) satisfaz a condição.

Resposta

P=(-3,0)

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