Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
O que é pedido: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial para
e a condição
. Observação importante: não podemos dividir por
quando
, então a solução será em um intervalo que não contém
; como a condição inicial está em
, vamos trabalhar no ramo
.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de equação linear de primeira ordem, isto é
. Dividindo ambos os lados por
(válido para
) obtemos
Aqui
e
.
Passo 3
Explicar o método do fator integrante (integrating factor). Para uma equação da forma
o fator integrante é
Aplicando ao nosso caso com
,
Como estamos tomando o ramo
(por causa da condição em
), podemos escrever
.
Passo 4
Multiplicar a equação padrão por
. Isso dá
Notar que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, pois
Portanto podemos escrever
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
Calcular a integral:
. Então
Logo
Passo 5
Isolar
multiplicando por
:
Aplicar a condição inicial
:
Assim a solução que satisfaz a condição inicial é
válida para
(intervalo que contém
).
Passo 6
Verificação rápida (pra ficar mais seguro): calcular
. Então
que coincide com o lado direito da equação original. Tudo consistente.