Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
t y^{\prime}(t)-2 y(t)=-t, y(1)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
t\,y'(t)-2\,y(t)=-t,\qquad y(1)=0.
O que é pedido: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial para t\neq0 e a condição y(1)=0. Observação importante: não podemos dividir por t quando t=0, então a solução será em um intervalo que não contém 0; como a condição inicial está em t=1, vamos trabalhar no ramo t>0.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de equação linear de primeira ordem, isto é y'+p(t)y=q(t). Dividindo ambos os lados por t (válido para t\neq0) obtemos
y'(t)-\frac{2}{t}y(t)=-1.
Aqui p(t)=-\dfrac{2}{t} e q(t)=-1.

Passo 3

Explicar o método do fator integrante (integrating factor). Para uma equação da forma
y'+p(t)y=q(t),
o fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
Aplicando ao nosso caso com p(t)=-\dfrac{2}{t},
\mu(t)=\exp\!\left(\int -\frac{2}{t}\,dt\right)=\exp(-2\ln|t|)=|t|^{-2}.
Como estamos tomando o ramo t>0 (por causa da condição em t=1), podemos escrever \mu(t)=t^{-2}.

Passo 4

Multiplicar a equação padrão por \mu(t)=t^{-2}. Isso dá
t^{-2}y'(t)-2t^{-3}y(t)=-t^{-2}.
Notar que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \mu(t)y(t)=t^{-2}y(t), pois
\frac{d}{dt}\big(t^{-2}y(t)\big)=t^{-2}y'(t)+(-2t^{-3})y(t)=t^{-2}y'(t)-2t^{-3}y(t).
Portanto podemos escrever
\frac{d}{dt}\big(t^{-2}y(t)\big)=-t^{-2}.
Agora integramos ambos os lados em relação a t:
t^{-2}y(t)=\int -t^{-2}\,dt.
Calcular a integral: \displaystyle\int t^{-2}\,dt=-t^{-1}+C. Então
\int -t^{-2}\,dt = -\int t^{-2}\,dt = -(-t^{-1})+C = t^{-1}+C.
Logo
t^{-2}y(t)=t^{-1}+C.

Passo 5

Isolar y(t) multiplicando por t^{2}:
y(t)=t + C t^{2}.
Aplicar a condição inicial y(1)=0:
0 = y(1)=1 + C\cdot 1^{2}=1+C \quad\Rightarrow\quad C=-1.
Assim a solução que satisfaz a condição inicial é
y(t)=t - t^{2},
válida para t>0 (intervalo que contém t=1).

Passo 6

Verificação rápida (pra ficar mais seguro): calcular y'(t)=1-2t. Então
t\,y'(t)-2y(t)=t(1-2t)-2(t-t^{2})=t-2t^{2}-2t+2t^{2}=-t,
que coincide com o lado direito da equação original. Tudo consistente.

Resposta

y(t)=t-t^{2},\quad t>0

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