Determine uma parametrização para as curvas abaixo:
\left\{\begin{array}{c}4 x^{2}+9 y^{2}=1 ; \\\\ 9 y^{2}+z^{2}=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema de equações
\begin{cases} 4x^{2}+9y^{2}=1;\\[4pt] 9y^{2}+z^{2}=1. \end{cases}
O que nos pedem: determinar uma parametrização (ou parametrizações) das curvas que são a interseção dessas duas superfícies.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
4x^{2}+9y^{2}=1\quad\text{e}\quad 9y^{2}+z^{2}=1.
Não há mais dados (não foi dada figura), portanto vamos trabalhar apenas com essas duas equações.]

Passo 2

Ideia de alto nível (ainda sem resolver): cada uma das equações tem a forma de uma elipse em duas variáveis (quando fixamos a terceira), e uma maneira clássica de parametrizar uma elipse é usar funções trigonométricas porque elas satisfazem a identidade \cos^{2}t+\sin^{2}t=1. Vou explicar essa técnica passo a passo.

Passo 3

A técnica básica — como parametrizar uma elipse —: se temos uma equação do tipo
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
uma parametrização padrão é
x=a\cos t,\qquad y=b\sin t,
porque substituindo obtemos
\frac{(a\cos t)^{2}}{a^{2}}+\frac{(b\sin t)^{2}}{b^{2}}=\cos^{2}t+\sin^{2}t=1,
ou seja, a identidade trigonométrica garante que a parametrização satisfaz a equação da elipse para todo t. Aqui t é o parâmetro (normalmente t\in[0,2\pi)).

Passo 4

Aplicando a técnica à primeira equação \;4x^{2}+9y^{2}=1\;: escrevemos como
\frac{x^{2}}{(1/2)^{2}}+\frac{y^{2}}{(1/3)^{2}}=1,
pois (1/2)^{2}=1/4 e (1/3)^{2}=1/9. Portanto uma parametrização conveniente é
x=\frac{1}{2}\cos t,\qquad y=\frac{1}{3}\sin t,
com t\in[0,2\pi). Isso garante que a primeira equação é satisfeita para todo t.

Passo 5

Agora olhemos a segunda equação \;9y^{2}+z^{2}=1\;. Podemos escrever
\frac{y^{2}}{(1/3)^{2}}+\frac{z^{2}}{1^{2}}=1,
então uma parametrização padrão da segunda é
y=\frac{1}{3}\sin s,\qquad z=\cos s,
com parâmetro s\in[0,2\pi). Repare que a expressão para y tem o mesmo formato \frac{1}{3}\sin(\cdot) que encontramos na parametrização da primeira equação.

Passo 6

Para parametrizar a interseção das duas superfícies precisamos que a mesma coordenada y proveniente das duas parametrizações coincida. A escolha natural é usar o mesmo parâmetro para as duas parametrizações, isto é, tomar s=t. Assim tomamos
y=\frac{1}{3}\sin t
para ambas as equações simultaneamente. Com isso, substituindo em \;9y^{2}+z^{2}=1\; obtemos
9\Big(\frac{1}{3}\sin t\Big)^{2}+z^{2}=1
ou seja
\sin^{2}t+z^{2}=1\quad\Rightarrow\quad z^{2}=\cos^{2}t.
Isso implica z=\cos t ou z=-\cos t.

Passo 7

Voltando à coordenada x obtida na primeira parametrização, temos
x=\frac{1}{2}\cos t.
Observe que, se escolhermos z=\cos t, então existe uma relação simples entre z e x:
z=\cos t=2\cdot\frac{1}{2}\cos t=2x,
ou seja z=2x. Se escolhermos z=-\cos t, obtemos z=-2x. Essa observação também pode ser obtida diretamente subtraindo as duas equações dadas: (4x^{2}+9y^{2})-(9y^{2}+z^{2})=0 \Rightarrow 4x^{2}-z^{2}=0 \Rightarrow z=\pm 2x.

Passo 8

Conclusão sobre a geometria: a interseção é a união de duas curvas fechadas (duas “elipses” curvas) correspondentes a z=2x e z=-2x. Para cada caso conseguimos uma parametrização contínua usando o mesmo parâmetro t.

Passo 9

Escrevendo as parametrizações finais (vetoriais coordenada a coordenada). Para o ramo com z=2x (escolha do sinal +) temos
x(t)=\frac{1}{2}\cos t,\qquad y(t)=\frac{1}{3}\sin t,\qquad z(t)=\cos t,
com t\in[0,2\pi). Podemos verificar rapidamente: substituir em 4x^{2}+9y^{2}=1 \cos^{2}t+\sin^{2}t=1, e em 9y^{2}+z^{2}=1 \sin^{2}t+\cos^{2}t=1, então ambas se satisfazem.

Passo 10

Para o ramo com z=-2x (sinal -) temos
x(t)=\frac{1}{2}\cos t,\qquad y(t)=\frac{1}{3}\sin t,\qquad z(t)=-\cos t,
com t\in[0,2\pi). Novamente a verificação é análoga.

Resposta

\mathbf{r}_{+}(t)=\Big(\tfrac{1}{2}\cos t,\;\tfrac{1}{3}\sin t,\;\cos t\Big),\quad t\in[0,2\pi)
\mathbf{r}_{-}(t)=\Big(\tfrac{1}{2}\cos t,\;\tfrac{1}{3}\sin t,\;-\cos t\Big),\quad t\in[0,2\pi)

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