O que nos pedem: determinar uma parametrização (ou parametrizações) das curvas que são a interseção dessas duas superfícies.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
4x^{2}+9y^{2}=1\quad\text{e}\quad 9y^{2}+z^{2}=1.
Não há mais dados (não foi dada figura), portanto vamos trabalhar apenas com essas duas equações.]
Passo 2
Ideia de alto nível (ainda sem resolver): cada uma das equações tem a forma de uma elipse em duas variáveis (quando fixamos a terceira), e uma maneira clássica de parametrizar uma elipse é usar funções trigonométricas porque elas satisfazem a identidade \cos^{2}t+\sin^{2}t=1. Vou explicar essa técnica passo a passo.
Passo 3
A técnica básica — como parametrizar uma elipse —: se temos uma equação do tipo
ou seja, a identidade trigonométrica garante que a parametrização satisfaz a equação da elipse para todo t. Aqui t é o parâmetro (normalmente t\in[0,2\pi)).
Passo 4
Aplicando a técnica à primeira equação \;4x^{2}+9y^{2}=1\;: escrevemos como
pois (1/2)^{2}=1/4 e (1/3)^{2}=1/9. Portanto uma parametrização conveniente é
x=\frac{1}{2}\cos t,\qquad y=\frac{1}{3}\sin t,
com t\in[0,2\pi). Isso garante que a primeira equação é satisfeita para todo t.
Passo 5
Agora olhemos a segunda equação \;9y^{2}+z^{2}=1\;. Podemos escrever
\frac{y^{2}}{(1/3)^{2}}+\frac{z^{2}}{1^{2}}=1,
então uma parametrização padrão da segunda é
y=\frac{1}{3}\sin s,\qquad z=\cos s,
com parâmetro s\in[0,2\pi). Repare que a expressão para y tem o mesmo formato \frac{1}{3}\sin(\cdot) que encontramos na parametrização da primeira equação.
Passo 6
Para parametrizar a interseção das duas superfícies precisamos que a mesma coordenada y proveniente das duas parametrizações coincida. A escolha natural é usar o mesmo parâmetro para as duas parametrizações, isto é, tomar s=t. Assim tomamos
y=\frac{1}{3}\sin t
para ambas as equações simultaneamente. Com isso, substituindo em \;9y^{2}+z^{2}=1\; obtemos
Voltando à coordenada x obtida na primeira parametrização, temos
x=\frac{1}{2}\cos t.
Observe que, se escolhermos z=\cos t, então existe uma relação simples entre z e x:
z=\cos t=2\cdot\frac{1}{2}\cos t=2x,
ou seja z=2x. Se escolhermos z=-\cos t, obtemos z=-2x. Essa observação também pode ser obtida diretamente subtraindo as duas equações dadas: (4x^{2}+9y^{2})-(9y^{2}+z^{2})=0 \Rightarrow 4x^{2}-z^{2}=0 \Rightarrow z=\pm 2x.
Passo 8
Conclusão sobre a geometria: a interseção é a união de duas curvas fechadas (duas “elipses” curvas) correspondentes a z=2x e z=-2x. Para cada caso conseguimos uma parametrização contínua usando o mesmo parâmetro t.
Passo 9
Escrevendo as parametrizações finais (vetoriais coordenada a coordenada). Para o ramo com z=2x (escolha do sinal +) temos
com t\in[0,2\pi). Podemos verificar rapidamente: substituir em 4x^{2}+9y^{2}=1 dá \cos^{2}t+\sin^{2}t=1, e em 9y^{2}+z^{2}=1 dá \sin^{2}t+\cos^{2}t=1, então ambas se satisfazem.