Determine uma parametrização para as curvas abaixo:
\left\{\begin{array}{c}4 x^{2}+9 y^{2}=1 ; \\\ z=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a curva descrita pelos dois condicionantes abaixo e pede uma parametrização dela:
\begin{cases} 4x^{2}+9y^{2}=1,\\[4pt] z=1. \end{cases}
Informações relevantes que temos: a primeira equação é uma equação no plano xy que restringe (x,y) a uma curva fechada; a segunda fixa a coordenada z igual a 1. A tarefa é escrever uma função vetorial de um parâmetro t que, ao variar em um intervalo apropriado, percorra exatamente todos os pontos dessa curva.]

Passo 2

Vamos identificar a curva no plano xy. Reescrevemos a equação da curva em forma padrão de elipse dividindo ambos os lados por 1:
4x^{2}+9y^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{1/4}+\frac{y^{2}}{1/9}=1.
Aqui reconhecemos a forma padrão de uma elipse:
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
onde a^{2} e b^{2} são os quadrados dos semi-eixos. Comparando termos, obtemos
a^{2}=\tfrac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad a=\tfrac{1}{2},
b^{2}=\tfrac{1}{9}\quad\Rightarrow\quad b=\tfrac{1}{3}.

Passo 3

Agora a ideia padrão para parametrizar uma elipse centrada na origem é usar as funções trigonométricas coseno e seno com os semi-eixos como fatores:
x(t)=a\cos t,\qquad y(t)=b\sin t,
porque sabemos que para qualquer t
\frac{(a\cos t)^{2}}{a^{2}}+\frac{(b\sin t)^{2}}{b^{2}}=\cos^{2}t+\sin^{2}t=1,
ou seja, essa escolha satisfaz sempre a equação da elipse. Aqui cada variável significa:
  • t é o parâmetro (ângulo) que varia para gerar a curva;
  • a=\tfrac{1}{2} é o semi-eixo ao longo do eixo x;
  • b=\tfrac{1}{3} é o semi-eixo ao longo do eixo y.

Passo 4

Substituímos os valores de a e b que encontramos em x(t) e y(t) e lembramos que z é constante igual a 1. Assim obtemos a parametrização vetorial
\mathbf{r}(t)=\bigl(x(t),\,y(t),\,z(t)\bigr)=\Bigl(\tfrac{1}{2}\cos t,\;\tfrac{1}{3}\sin t,\;1\Bigr).
Verificação rápida (para ficar tranquilo): substituindo na equação da elipse,
4\bigl(\tfrac{1}{2}\cos t\bigr)^{2}+9\bigl(\tfrac{1}{3}\sin t\bigr)^{2} =4\cdot\tfrac{1}{4}\cos^{2}t+9\cdot\tfrac{1}{9}\sin^{2}t =\cos^{2}t+\sin^{2}t=1,
então a parametrização satisfaz a equação dada. O parâmetro t pode variar em qualquer intervalo de comprimento 2\pi para percorrer a elipse uma vez; o mais comum é t\in[0,2\pi).

Passo 5

Observações úteis para a prova (pega leve, você consegue):
  • A parametrização acima percorre a elipse no sentido anti-horário quando vista no plano xy (sentido de aumento de t se começarmos em t=0 com (x,y)=(\tfrac{1}{2},0)). Se você quiser o sentido horário, troque o sinal em t em uma das funções trigonométricas, por exemplo \bigl(\tfrac{1}{2}\cos t,\;-\tfrac{1}{3}\sin t,\;1\bigr).
  • A parametrização é suave e regular (derivada não nula quase sempre), então serve também para cálculos de comprimento de arco, integrais de linha, etc.
  • Alternativas equivalentes: podemos adicionar um deslocamento de fase t\mapsto t+t_{0} sem mudar a curva (só muda o ponto inicial).

Resposta

\mathbf{r}(t)=\Bigl(\tfrac{1}{2}\cos t,\;\tfrac{1}{3}\sin t,\;1\Bigr),\quad t\in[0,2\pi)

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