Determine uma parametrização para as curvas abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a curva descrita pelos dois condicionantes abaixo e pede uma parametrização dela:
Informações relevantes que temos: a primeira equação é uma equação no plano
que restringe
a uma curva fechada; a segunda fixa a coordenada
igual a
. A tarefa é escrever uma função vetorial de um parâmetro
que, ao variar em um intervalo apropriado, percorra exatamente todos os pontos dessa curva.]
Passo 2
Vamos identificar a curva no plano
. Reescrevemos a equação da curva em forma padrão de elipse dividindo ambos os lados por
:
Aqui reconhecemos a forma padrão de uma elipse:
onde
e
são os quadrados dos semi-eixos. Comparando termos, obtemos
Passo 3
Agora a ideia padrão para parametrizar uma elipse centrada na origem é usar as funções trigonométricas coseno e seno com os semi-eixos como fatores:
porque sabemos que para qualquer
ou seja, essa escolha satisfaz sempre a equação da elipse. Aqui cada variável significa:
-
é o parâmetro (ângulo) que varia para gerar a curva; -
é o semi-eixo ao longo do eixo ; -
é o semi-eixo ao longo do eixo .
Passo 4
Substituímos os valores de
e
que encontramos em
e
e lembramos que
é constante igual a
. Assim obtemos a parametrização vetorial
Verificação rápida (para ficar tranquilo): substituindo na equação da elipse,
então a parametrização satisfaz a equação dada. O parâmetro
pode variar em qualquer intervalo de comprimento
para percorrer a elipse uma vez; o mais comum é
.
Passo 5
Observações úteis para a prova (pega leve, você consegue):
- A parametrização acima percorre a elipse no sentido anti-horário quando vista no plano
(sentido de aumento de se começarmos em com ). Se você quiser o sentido horário, troque o sinal em em uma das funções trigonométricas, por exemplo . - A parametrização é suave e regular (derivada não nula quase sempre), então serve também para cálculos de comprimento de arco, integrais de linha, etc.
- Alternativas equivalentes: podemos adicionar um deslocamento de fase
sem mudar a curva (só muda o ponto inicial).