Determine uma parametrização para o plano z=4+\frac{4 x}{3} e utilize-a para calcular a área da porção desse plano que está contida no interior do cilindro elíptico \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}=1.

Passo 1

O enunciado dá o plano z=4+\frac{4x}{3} e o cilindro elíptico \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}=1. Pede duas coisas:
  1. encontrar uma parametrização do plano;
  2. usar essa parametrização para calcular a área da porção do plano que está contida no interior da elipse \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}\le 1.
Informações relevantes que temos: o plano é uma superfície do tipo gráfico z=f(x,y) com f(x,y)=4+\frac{4x}{3}. A região no plano está projetada verticalmente sobre a região elíptica no plano xy:
D=\left\{(x,y)\mid \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}\le 1\right\}.
A tarefa é parametrizar a superfície e calcular a área da parte sobre D.

Passo 2

Escolhendo uma parametrização natural: para uma superfície dada por gráfico z=f(x,y) costuma-se usar os parâmetros x e y. Assim uma parametrização conveniente é
\mathbf{r}(x,y)=\bigl(x,\;y,\;4+\tfrac{4x}{3}\bigr),
com (x,y)\in D.
Outra parametrização alternativa, útil para integrar facilmente sobre a elipse, é mapear o disco unitário \{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le 1\} para a elipse por escalações nas direções x e y. Fazemos:
x=3u,\qquad y=5v,
logo uma parametrização em termos de (u,v) é
\mathbf{r}(u,v)=\bigl(3u,\;5v,\;4+\tfrac{4(3u)}{3}\bigr)=\bigl(3u,\;5v,\;4+4u\bigr),
com (u,v) variando no disco unitário U=\{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le 1\}.
Explicação didática do método de área: para uma parametrização \mathbf{r}(u,v) a área da superfície sobre o domínio R no espaço dos parâmetros é
\text{Area}=\iint_{R}\bigl\lVert \mathbf{r}_u\times \mathbf{r}_v\bigr\rVert\,du\,dv,
onde \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v são as derivadas parciais de \mathbf{r} e \times é o produto vetorial. A magnitude do produto vetorial dá o fator de alongamento do elemento de área do plano dos parâmetros para a superfície no espaço.
Também existe uma fórmula mais direta para gráficos z=f(x,y):
\text{Area}=\iint_{D}\sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}}\;dA,
onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f. Ambas as abordagens dão o mesmo resultado; aqui eu vou aplicar a parametrização \mathbf{r}(u,v) (mapa do disco unitário) para fazer as contas de forma limpa.

Passo 3

Calcule as derivadas parciais da parametrização \mathbf{r}(u,v)=\bigl(3u,\;5v,\;4+4u\bigr).
Derivada em relação a u:
\mathbf{r}_u=(3,\;0,\;4).
Derivada em relação a v:
\mathbf{r}_v=(0,\;5,\;0).
Agora o produto vetorial \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v. Calculamos pela regra do determinante:
\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 3 & 0 & 4 \\\\ 0 & 5 & 0 \end{vmatrix} =\bigl(-20,\;0,\;15\bigr).
Explicando: componente \mathbf{i} é 0\cdot 0-4\cdot 5=-20; componente \mathbf{j} é -(3\cdot 0-4\cdot 0)=0; componente \mathbf{k} é 3\cdot 5-0\cdot 0=15.
A magnitude desse vetor é
\bigl\lVert \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\bigr\rVert=\sqrt{(-20)^{2}+0^{2}+15^{2}}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25.
Isso significa que o elemento de área na superfície é simplesmente dS=25\,du\,dv quando usamos os parâmetros (u,v).

Passo 4

Agora integramos sobre o disco unitário U=\{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le 1\}:
\text{Area}=\iint_{U}25\,du\,dv =25\cdot \text{(área do disco unitário)}.áá
A área do disco unitário é \pi. Portanto
\text{Area}=25\pi.
Se você quiser ver a verificação pela fórmula do gráfico z=f(x,y): temos f_x=\tfrac{4}{3} e f_y=0, então
\sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}}=\sqrt{1+\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)^{2}+0}=\sqrt{1+\tfrac{16}{9}}=\sqrt{\tfrac{25}{9}}=\tfrac{5}{3}.
A área seria então \tfrac{5}{3} vezes a área da região projetada D. A área da elipse D é \pi\cdot 3\cdot 5=15\pi. Multiplicando,
\text{Area}=\tfrac{5}{3}\cdot 15\pi=25\pi,
confirmando o resultado anterior.

Resposta

25\pi

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