Determine uma parametrização para o plano z=4+\frac{4 x}{3} e utilize-a para calcular a área da porção desse plano que está contida no interior do cilindro elíptico \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}=1.
Passo 1
O enunciado dá o plano z=4+\frac{4x}{3} e o cilindro elíptico \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}=1. Pede duas coisas:
encontrar uma parametrização do plano;
usar essa parametrização para calcular a área da porção do plano que está contida no interior da elipse \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}\le 1.
Informações relevantes que temos: o plano é uma superfície do tipo gráfico z=f(x,y) com f(x,y)=4+\frac{4x}{3}. A região no plano está projetada verticalmente sobre a região elíptica no plano xy:
A tarefa é parametrizar a superfície e calcular a área da parte sobre D.
Passo 2
Escolhendo uma parametrização natural: para uma superfície dada por gráfico z=f(x,y) costuma-se usar os parâmetros x e y. Assim uma parametrização conveniente é
Outra parametrização alternativa, útil para integrar facilmente sobre a elipse, é mapear o disco unitário \{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le 1\} para a elipse por escalações nas direções x e y. Fazemos:
onde \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v são as derivadas parciais de \mathbf{r} e \times é o produto vetorial. A magnitude do produto vetorial dá o fator de alongamento do elemento de área do plano dos parâmetros para a superfície no espaço.
Também existe uma fórmula mais direta para gráficos z=f(x,y):
onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f. Ambas as abordagens dão o mesmo resultado; aqui eu vou aplicar a parametrização \mathbf{r}(u,v) (mapa do disco unitário) para fazer as contas de forma limpa.
Passo 3
Calcule as derivadas parciais da parametrização \mathbf{r}(u,v)=\bigl(3u,\;5v,\;4+4u\bigr).
Derivada em relação a u:
\mathbf{r}_u=(3,\;0,\;4).
Derivada em relação a v:
\mathbf{r}_v=(0,\;5,\;0).
Agora o produto vetorial \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v. Calculamos pela regra do determinante: