A quantidade de carga
, medida em coloumbs, que passou por um determinado ponto em um fio até o instante
segundos é dada por
, em que
e
são constantes. Determine a corrente neste ponto do fio no instante
. Quais são as unidades de medida da corrente encontrada?
Passo 1
O enunciado fornece a quantidade de carga acumulada até o instante
dada por
em que
,
e
são constantes (o enunciado também citou
, mas não aparece na expressão; por isso ignoramos
).
As perguntas são: (1) determinar a corrente neste ponto do fio no instante e (2) indicar as unidades de medida da corrente encontrada. Listei explicitamente a função dada e o que é pedido para ficar tudo claro antes de começar.
As perguntas são: (1) determinar a corrente neste ponto do fio no instante
Passo 2
Entendendo o que é corrente: a corrente elétrica em um ponto é a taxa de variação temporal da carga que passa por esse ponto. Matematicamente, isso significa que a corrente
é a derivada de
em relação ao tempo:
Aqui,
significa “quanto a carga
muda por unidade de tempo” — fisicamente é carga por segundo.
Passo 3
As regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma bem prática):
- Regra do produto: se
, então Ou seja, derivamos uma função por vez e somamos os dois termos. - Derivada do exponencial:
. Aqui é constante; a razão é aplicar a regra da cadeia. - Derivada do cosseno com argumento
: . Novamente usamos a regra da cadeia: derivada de é vezes a derivada interna .
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 4
Separe a função em duas partes para aplicar a regra do produto:
Agora calcule as derivadas de cada parte:
- Para
: é constante, então Aqui usei . - Para
:
Passo 5
Aplique a regra do produto para obter a corrente:
Substituindo
que calculamos:
Passo 6
Simplifique a expressão fatorando
:
Uma forma alternativa, apenas reorganizando o sinal, é
Essas expressões são equivalentes; ambas descrevem a corrente no instante
.
Passo 7
Unidades. Como
está em coulombs (
) e
em segundos (
), a derivada
tem unidades
, que é a unidade do ampere. Portanto a corrente tem unidade ampere (
), sendo
. Observação dimensional rápida:
tem unidade de coulomb, e
e
têm unidade de
(para que os argumentos do exponencial e do cosseno sejam adimensionais).
Resposta
Unidades: ampere
, isto é,
.