A quantidade de carga Q, medida em coloumbs, que passou por um determinado ponto em um fio até o instante t segundos é dada por Q(t)=k e^{-a t} \cos (\omega t), em que k, a, b e \omega são constantes. Determine a corrente neste ponto do fio no instante t. Quais são as unidades de medida da corrente encontrada?

Passo 1

O enunciado fornece a quantidade de carga acumulada até o instante t dada por
Q(t)=k e^{-a t}\cos(\omega t),
em que k, a e \omega são constantes (o enunciado também citou b, mas não aparece na expressão; por isso ignoramos b).
As perguntas são: (1) determinar a corrente neste ponto do fio no instante t e (2) indicar as unidades de medida da corrente encontrada. Listei explicitamente a função dada e o que é pedido para ficar tudo claro antes de começar.

Passo 2

Entendendo o que é corrente: a corrente elétrica em um ponto é a taxa de variação temporal da carga que passa por esse ponto. Matematicamente, isso significa que a corrente I(t) é a derivada de Q(t) em relação ao tempo:
I(t)=\frac{dQ}{dt}.
Aqui, \frac{dQ}{dt} significa “quanto a carga Q muda por unidade de tempo” — fisicamente é carga por segundo.

Passo 3

As regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma bem prática):
  • Regra do produto: se y(t)=u(t)\,v(t), então \frac{dy}{dt}=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).Ou seja, derivamos uma função por vez e somamos os dois termos.
  • Derivada do exponencial: \frac{d}{dt}e^{-a t} = -a e^{-a t}. Aqui a é constante; a razão é aplicar a regra da cadeia.
  • Derivada do cosseno com argumento \omega t: \frac{d}{dt}\cos(\omega t) = -\omega\sin(\omega t). Novamente usamos a regra da cadeia: derivada de \cos é -\sin vezes a derivada interna \omega.
    Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 4

Separe a função em duas partes para aplicar a regra do produto:
u(t)=k e^{-a t},\qquad v(t)=\cos(\omega t).
Agora calcule as derivadas de cada parte:
  • Para u(t): k é constante, então u'(t)=k\cdot\frac{d}{dt}e^{-a t}=k\cdot(-a)e^{-a t}=-a k e^{-a t}.Aqui usei \frac{d}{dt}e^{-a t}=-a e^{-a t}.
  • Para v(t): v'(t)=\frac{d}{dt}\cos(\omega t)=-\omega\sin(\omega t).

Passo 5

Aplique a regra do produto para obter a corrente:
I(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
Substituindo u,u',v,v' que calculamos:
I(t)=\big(-a k e^{-a t}\big)\cos(\omega t)+\big(k e^{-a t}\big)\big(-\omega\sin(\omega t)\big).

Passo 6

Simplifique a expressão fatorando k e^{-a t}:
I(t)=k e^{-a t}\big(-a\cos(\omega t)-\omega\sin(\omega t)\big).
Uma forma alternativa, apenas reorganizando o sinal, é
I(t)=-k e^{-a t}\big(a\cos(\omega t)+\omega\sin(\omega t)\big).
Essas expressões são equivalentes; ambas descrevem a corrente no instante t.

Passo 7

Unidades. Como Q(t) está em coulombs ( \mathrm{C}) e t em segundos ( \mathrm{s}), a derivada \dfrac{dQ}{dt} tem unidades \mathrm{C}/\mathrm{s}, que é a unidade do ampere. Portanto a corrente tem unidade ampere ( \mathrm{A}), sendo 1\,\mathrm{A}=1\,\mathrm{C}/\mathrm{s}. Observação dimensional rápida: k tem unidade de coulomb, e a e \omega têm unidade de \mathrm{s}^{-1} (para que os argumentos do exponencial e do cosseno sejam adimensionais).

Resposta

I(t)=k e^{-a t}\big(-a\cos(\omega t)-\omega\sin(\omega t)\big)
Unidades: ampere (\mathrm{A}), isto é, \mathrm{C}\!/\mathrm{s}.

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