Seja
a fronteira da região que delimitada entre
e
. Assumindo que
esta orientada em sentido anti-horário, use o teorema de Green para avaliar a integral
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada
, onde
é a fronteira da região delimitada entre as curvas
e
. Foi dado também que
está orientada no sentido anti-horário (sentido positivo).\n
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
Passo 2
Vamos usar o teorema de Green. Primeiro, o que ele diz (de forma prática para nós): se temos uma curva fechada simples
que orientada positivamente encircla uma região
plana e as funções
e
têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de
, então
Aqui a integral de linha que nos deram é do tipo
com
e
. A orientação anti-horário é a orientação positiva exigida pelo teorema, então podemos aplicá-lo diretamente.
Passo 3
Identificamos
e
e calculamos as derivadas parciais que aparecem no teorema:
Portanto o integrando na área é
Logo
onde
é a região entre
e
.
Passo 4
Precisamos descrever
para montar a integral dupla. Primeiro encontramos os pontos de interseção das curvas:
Logo
e
. Para
entre
e
temos
, então, para cada
,
varia de
(inferior) até
(superior). Assim uma descrição conveniente de
é
Passo 5
Agora montamos a integral dupla seguindo essa descrição:
Calculemos primeiro a integral interna em
. Para a primitiva de
em
temos
. Portanto
Compute cada termo:
Logo a integral interna vale
.
Passo 6
Agora integramos em
:
Calculemos termo a termo:
Avaliaremos de
a
:
Calcule os valores numéricos:
Subtraindo: