Seja C a fronteira da região que delimitada entre y=x^{2} e y=2 x. Assumindo que C esta orientada em sentido anti-horário, use o teorema de Green para avaliar a integral \oint\left(6 x-y^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada \displaystyle \oint_C (6x - y^2)\,dx, onde C é a fronteira da região delimitada entre as curvas y = x^{2} e y = 2x. Foi dado também que C está orientada no sentido anti-horário (sentido positivo).\n
Informações importantes fornecidas:
\text{Integral a avaliar: }\quad \oint_{C} (6x - y^{2})\,dx.
\text{Curvas que limitam a região: } y = x^{2}\quad\text{e}\quad y = 2x.ã
\text{Orientação de } C: \text{ anti-horário (positiva).}çãá

Passo 2

Vamos usar o teorema de Green. Primeiro, o que ele diz (de forma prática para nós): se temos uma curva fechada simples C que orientada positivamente encircla uma região D plana e as funções P(x,y) e Q(x,y) têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de D, então
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Aqui a integral de linha que nos deram é do tipo P\,dx + Q\,dy com P=6x-y^{2} e Q=0. A orientação anti-horário é a orientação positiva exigida pelo teorema, então podemos aplicá-lo diretamente.

Passo 3

Identificamos P e Q e calculamos as derivadas parciais que aparecem no teorema:
P(x,y) = 6x - y^{2},\qquad Q(x,y)=0.
\frac{\partial Q}{\partial x} = 0,\qquad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(6x - y^{2}) = -2y.
Portanto o integrando na área é
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0 - (-2y) = 2y.
Logo
\oint_{C} (6x-y^{2})\,dx = \iint_{D} 2y\,dA,
onde D é a região entre y=x^{2} e y=2x.

Passo 4

Precisamos descrever D para montar a integral dupla. Primeiro encontramos os pontos de interseção das curvas:
x^{2} = 2x \quad\Rightarrow\quad x^{2}-2x=0 \quad\Rightarrow\quad x(x-2)=0.
Logo x=0 e x=2. Para x entre 0 e 2 temos x^{2}\le 2x, então, para cada x\in[0,2], y varia de y=x^{2} (inferior) até y=2x (superior). Assim uma descrição conveniente de D é
D = \{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\; x^{2}\le y\le 2x\}.

Passo 5

Agora montamos a integral dupla seguindo essa descrição:
\iint_{D} 2y\,dA = \int_{x=0}^{2}\left(\int_{y=x^{2}}^{2x} 2y\,dy\right)dx.
Calculemos primeiro a integral interna em y. Para a primitiva de 2y em y temos y^{2}. Portanto
\int_{y=x^{2}}^{2x} 2y\,dy = \bigl[y^{2}\bigr]_{y=x^{2}}^{y=2x} = (2x)^{2} - (x^{2})^{2}.
Compute cada termo:
(2x)^{2} = 4x^{2},\qquad (x^{2})^{2} = x^{4}.
Logo a integral interna vale 4x^{2} - x^{4}.

Passo 6

Agora integramos em x:
\int_{0}^{2} \bigl(4x^{2} - x^{4}\bigr)\,dx.
Calculemos termo a termo:
\int 4x^{2}\,dx = \frac{4x^{3}}{3},\qquad \int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5}.
Avaliaremos de 0 a 2:
\left[\frac{4x^{3}}{3} - \frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{2} = \frac{4\cdot 2^{3}}{3} - \frac{2^{5}}{5} - 0.
Calcule os valores numéricos:
\frac{4\cdot 8}{3} = \frac{32}{3},\qquad \frac{2^{5}}{5} = \frac{32}{5}.
Subtraindo:
\frac{32}{3} - \frac{32}{5} = 32\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right) = 32\cdot\frac{2}{15} = \frac{64}{15}.

Resposta

\dfrac{64}{15}

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