Em cada um dos itens abaixo, verifique que a função
satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo indicado. Em seguida, encontre todos os números
que satisfazem a conclusão do Teorema.
(a)
.
(a)
Passo 1
O enunciado dá a função
e o intervalo
.
Pede-se: verificar que satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio (TVM) no intervalo indicado e, em seguida, encontrar todos os números
que satisfazem a conclusão do Teorema (isto é, todos os
tais que
).
Informações relevantes do enunciado:
é dada explicitamente como um polinômio
.
Intervalo fechado: .
Pede-se: verificar que
Informações relevantes do enunciado:
Intervalo fechado:
Passo 2
Explicação do que o TVM exige (em linguagem simples): o Teorema do Valor Médio diz que, se uma função é contínua no intervalo fechado
e diferenciável no intervalo aberto
, então existe pelo menos um ponto
tal que a derivada em
é igual à inclinação da reta secante que liga
a
, isto é,
Vou verificar essas hipóteses para
no intervalo
.
Passo 3
Verificando continuidade em
:
Definição curta e intuitiva: uma função é contínua num ponto quando o valor da função no ponto é igual ao limite da função ao nos aproximarmos daquele ponto. Polinômios são funções feitas apenas de somas e multiplicações de potências de e coeficientes constantes; é um fato básico (que posso admitir aqui) que todo polinômio é contínuo em todo
. Logo
é contínua em todo
, em particular em
. Portanto a primeira hipótese do TVM está satisfeita.
Definição curta e intuitiva: uma função é contínua num ponto quando o valor da função no ponto é igual ao limite da função ao nos aproximarmos daquele ponto. Polinômios são funções feitas apenas de somas e multiplicações de potências de
Passo 4
Verificando diferenciabilidade em
:
Definição curta e intuitiva: uma função é diferenciável num ponto se o limite do quociente incremental existe — esse limite é a derivada. Polinômios têm derivadas bem definidas em todo (usando regras de derivação). Vamos calcular a derivada de
:
Definição curta e intuitiva: uma função é diferenciável num ponto se o limite do quociente incremental existe — esse limite é a derivada. Polinômios têm derivadas bem definidas em todo
Como
é uma expressão polinomial, ela existe para todo
. Portanto
é diferenciável em todo
, em particular em
. A segunda hipótese do TVM está satisfeita.
Passo 5
Aplicando o Teorema do Valor Médio: primeiro calculo a inclinação da secante entre
e
. Calculo
e
passo a passo:
Calcule
:
Calcule
:
Logo a inclinação média (reta secante) é
Pelo TVM existe pelo menos um
tal que
Passo 6
Resolver a equação
para encontrar todos os
. Lembre que
. Então:
Passo a passo:
Tomando raiz quadrada (lembrando as duas soluções, positiva e negativa):
Simplificando a raiz:
Portanto as soluções são
Passo 7
Verificação final: precisamos que os
encontrados estejam em
. Numericamente,
, e
; ambos pertencem a
. Assim ambos são válidos e satisfazem a conclusão do TVM. Concluímos que existem exatamente esses dois pontos onde a derivada iguala a inclinação média.