Em cada um dos itens abaixo, verifique que a função f satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo indicado. Em seguida, encontre todos os números c que satisfazem a conclusão do Teorema.
(a) f(x)=x^{3}-3 x+2, \quad[-2,2].

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x)=x^{3}-3x+2\, e o intervalo \,[-2,2]\,.
Pede-se: verificar que f satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio (TVM) no intervalo indicado e, em seguida, encontrar todos os números c que satisfazem a conclusão do Teorema (isto é, todos os c\in(-2,2) tais que f'\text{(c)}=\dfrac{f(2)-f(-2)}{2-(-2)}).
Informações relevantes do enunciado:
f é dada explicitamente como um polinômio x^{3}-3x+2.
Intervalo fechado: [-2,2].

Passo 2

Explicação do que o TVM exige (em linguagem simples): o Teorema do Valor Médio diz que, se uma função é contínua no intervalo fechado [a,b] e diferenciável no intervalo aberto (a,b), então existe pelo menos um ponto c\in(a,b) tal que a derivada em c é igual à inclinação da reta secante que liga (a,f(a)) a (b,f(b)), isto é,
f'\text{(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
Vou verificar essas hipóteses para f no intervalo [-2,2].

Passo 3

Verificando continuidade em [-2,2]:
Definição curta e intuitiva: uma função é contínua num ponto quando o valor da função no ponto é igual ao limite da função ao nos aproximarmos daquele ponto. Polinômios são funções feitas apenas de somas e multiplicações de potências de x e coeficientes constantes; é um fato básico (que posso admitir aqui) que todo polinômio é contínuo em todo \mathbb{R}. Logo f é contínua em todo \mathbb{R}, em particular em [-2,2]. Portanto a primeira hipótese do TVM está satisfeita.

Passo 4

Verificando diferenciabilidade em (-2,2):
Definição curta e intuitiva: uma função é diferenciável num ponto se o limite do quociente incremental existe — esse limite é a derivada. Polinômios têm derivadas bem definidas em todo \mathbb{R} (usando regras de derivação). Vamos calcular a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-3x+2\bigr)=3x^{2}-3.
Como f'(x) é uma expressão polinomial, ela existe para todo x\in\mathbb{R}. Portanto f é diferenciável em todo \mathbb{R}, em particular em (-2,2). A segunda hipótese do TVM está satisfeita.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Valor Médio: primeiro calculo a inclinação da secante entre x=-2 e x=2. Calculo f(-2) e f(2) passo a passo:
Calcule f(2):
f(2)=2^{3}-3\cdot 2+2=8-6+2=4.
Calcule f(-2):
f(-2)=(-2)^{3}-3\cdot(-2)+2=-8+6+2=0.
Logo a inclinação média (reta secante) é
\frac{f(2)-f(-2)}{2-(-2)}=\frac{4-0}{4}=\frac{4}{4}=1.
Pelo TVM existe pelo menos um c\in(-2,2) tal que
f'\text{(c)}=1.

Passo 6

Resolver a equação f'(x)=1 para encontrar todos os c. Lembre que f'(x)=3x^{2}-3. Então:
3x^{2}-3=1.
Passo a passo:
3x^{2}-3=1 \implies 3x^{2}=1+3=4 \implies x^{2}=\frac{4}{3}.
Tomando raiz quadrada (lembrando as duas soluções, positiva e negativa):
x=\pm\sqrt{\frac{4}{3}}.
Simplificando a raiz:
\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.
Portanto as soluções são
x=\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}.

Passo 7

Verificação final: precisamos que os c encontrados estejam em (-2,2). Numericamente, \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\approx 1,1547, e -\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\approx -1,1547; ambos pertencem a (-2,2). Assim ambos são válidos e satisfazem a conclusão do TVM. Concluímos que existem exatamente esses dois pontos onde a derivada iguala a inclinação média.

Resposta

\displaystyle c=\frac{2\sqrt{3}}{3}
\displaystyle c=-\frac{2\sqrt{3}}{3}

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