e pede duas coisas: (i) mostrar que a função é diferenciável (interpreto isso como demonstrar que ela é diferenciável em todo \mathbb{R}); (ii) calcular a reta tangente no ponto (0,0).
Informações relevantes dadas: a expressão explícita para f(x) quando x\neq0 e o valor f(0)=0.]
Passo 2
Diferenciabilidade para x\neq0. Aqui basta usar regras básicas de derivação (produto e cadeia). Vou lembrar rapidinho as regras que vou usar:
Regra do produto: se u(x) e v(x) são diferenciáveis, então (u v)'=u'v+uv'.
Regra da cadeia: se g(x)=\varphi(\psi(x)) com \varphi e \psi diferenciáveis, então g'(x)=\varphi'(\psi(x))\cdot\psi'(x).
No caso x\neq0, temos f(x)=x^{2}\cdot\operatorname{sen}\!\bigl(1/x\bigr). Definimos u(x)=x^{2} e v(x)=\operatorname{sen}(1/x). Calculamos:
u'(x)=2x.
Para v'(x) aplicamos regra da cadeia: \varphi(t)=\operatorname{sen} t e \psi(x)=1/x. Assim \varphi'(t)=\cos t e \psi'(x)=-1/x^{2}. Logo
Portanto o limite da diferença-quociente existe e vale 0. Concluímos que f é diferenciável em 0 e
f'(0)=0.
Passo 4
Resumo da diferenciabilidade em todo \mathbb{R}\). Juntando os resultados:
\[f'(x)=\begin{cases}2x\operatorname{sen}\!\bigl(1/x\bigr)-\cos\!\bigl(1/x\bigr), & x\neq0,\\[4pt] 0, & x=0.\end{cases}
Assim f\] é diferenciável para todo \(x\in\mathbb{R}. (Observação extra — não pedida: f' não é contínua em 0 porque o termo -\cos(1/x) oscila quando x\to0.)]
Passo 5
Cálculo da reta tangente em (0,0). Fórmula da reta tangente no ponto a: a equação da reta tangente a y=f(x) em (a,f(a)) é
y=f(a)+f'(a)\bigl(x-a\bigr).
Aqui a=0, f(0)=0 e f'(0)=0. Substituindo:
y=0+0\cdot(x-0)=0.
Portanto a reta tangente no ponto (0,0) é a reta horizontal y=0.