Questão 4 (1 ponto). Mostre que a função abaixo é derivável. Calcule a reta tangente no ponto (0,0).
f(x)= \begin{cases}x^{2} \operatorname{sen}(1 / x), & x \neq 0 \\\\ 0, & x=0 .\end{cases}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)= \begin{cases}x^{2}\operatorname{sen}\!\bigl(1 / x\bigr), & x \neq 0,\\[4pt] 0, & x=0,\end{cases}
e pede duas coisas: (i) mostrar que a função é diferenciável (interpreto isso como demonstrar que ela é diferenciável em todo \mathbb{R}); (ii) calcular a reta tangente no ponto (0,0).
Informações relevantes dadas: a expressão explícita para f(x) quando x\neq0 e o valor f(0)=0.]

Passo 2

Diferenciabilidade para x\neq0. Aqui basta usar regras básicas de derivação (produto e cadeia). Vou lembrar rapidinho as regras que vou usar:
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são diferenciáveis, então (u v)'=u'v+uv'.
  • Regra da cadeia: se g(x)=\varphi(\psi(x)) com \varphi e \psi diferenciáveis, então g'(x)=\varphi'(\psi(x))\cdot\psi'(x).
No caso x\neq0, temos f(x)=x^{2}\cdot\operatorname{sen}\!\bigl(1/x\bigr). Definimos u(x)=x^{2} e v(x)=\operatorname{sen}(1/x). Calculamos:
  • u'(x)=2x.
  • Para v'(x) aplicamos regra da cadeia: \varphi(t)=\operatorname{sen} t e \psi(x)=1/x. Assim \varphi'(t)=\cos t e \psi'(x)=-1/x^{2}. Logo
v'(x)=\cos\!\bigl(1/x\bigr)\cdot\bigl(-1/x^{2}\bigr)=-\frac{\cos\!\bigl(1/x\bigr)}{x^{2}}.
Aplicando a regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=2x\operatorname{sen}\!\bigl(1/x\bigr)+x^{2}\Bigl(-\frac{\cos\!\bigl(1/x\bigr)}{x^{2}}\Bigr).
Simplificando o segundo termo:
f'(x)=2x\operatorname{sen}\!\bigl(1/x\bigr)-\cos\!\bigl(1/x\bigr),\qquad x\neq0.
Portanto f é diferenciável em todo ponto x\neq0 e o derivado está dado acima.

Passo 3

Diferenciabilidade no ponto x=0. Vou usar a definição de derivada num ponto: f é diferenciável em 0 se existir o limite
f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f(h)}{h}.
Aqui f(0)=0, então
\frac{f(h)}{h}=\frac{h^{2}\operatorname{sen}\!\bigl(1/h\bigr)}{h}=h\operatorname{sen}\!\bigl(1/h\bigr),\quad h\neq0.
Agora uso uma desigualdade simples: para todo real t temos |\operatorname{sen} t|\le1. Assim
\bigl|h\operatorname{sen}\!\bigl(1/h\bigr)\bigr|\le|h|.
Como |h|\to0 quando h\to0, o limite pelo teorema do confronto (squeeze theorem) dá
\lim_{h\to0}h\operatorname{sen}\!\bigl(1/h\bigr)=0.
Portanto o limite da diferença-quociente existe e vale 0. Concluímos que f é diferenciável em 0 e
f'(0)=0.

Passo 4

Resumo da diferenciabilidade em todo \mathbb{R}\). Juntando os resultados: \[f'(x)=\begin{cases}2x\operatorname{sen}\!\bigl(1/x\bigr)-\cos\!\bigl(1/x\bigr), & x\neq0,\\[4pt] 0, & x=0.\end{cases}
Assim f\] é diferenciável para todo \(x\in\mathbb{R}. (Observação extra — não pedida: f' não é contínua em 0 porque o termo -\cos(1/x) oscila quando x\to0.)]

Passo 5

Cálculo da reta tangente em (0,0). Fórmula da reta tangente no ponto a: a equação da reta tangente a y=f(x) em (a,f(a)) é
y=f(a)+f'(a)\bigl(x-a\bigr).
Aqui a=0, f(0)=0 e f'(0)=0. Substituindo:
y=0+0\cdot(x-0)=0.
Portanto a reta tangente no ponto (0,0) é a reta horizontal y=0.

Resposta

f'(x)=\begin{cases}2x\operatorname{sen}\!\bigl(1/x\bigr)-\cos\!\bigl(1/x\bigr), & x\neq0,\\[4pt] 0, & x=0,\end{cases}
\text{Reta tangente em }(0,0):\; y=0.]

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