Determine o parâmetro de rede e o fator de empacotamento das seguintes estruturas:
CsCl
Dados:
\mathrm{R}_{\mathrm{Na}^{+}}=0,102 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{Ba}^{+}}=0,136 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{cl}}=0,181 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{cs}^{+}}=0,170 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{Ti}^{+}}=0,068 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{o}}=0,140 \mathrm{~nm}

Passo 1

O enunciado pede o parâmetro de rede a e o fator de empacotamento (packing factor) para a estrutura de CsCl, que é cúbica simples com coordenação 8: íons \mathrm{Cl}^- nos vértices e \mathrm{Cs}^+ no centro. Vamos usar as distâncias iônicas fornecidas
\mathrm{R}_{\mathrm{Cs}^+}=0,170\,\mathrm{nm} e \mathrm{R}_{\mathrm{Cl}^-}=0,181\,\mathrm{nm}, além da geometria da rede (meia diagonal do cubo igual à soma dos raios).

Passo 2

Pela geometria da célula cúbica centrada no corpo, a meia diagonal do cubo é a distância entre \mathrm{Cs}^+ e \mathrm{Cl}^-:
\frac{\sqrt{3}\,a}{2} \;=\; R_{\mathrm{Cs}^+} + R_{\mathrm{Cl}^-}.
Logo
a = \frac{2\,(R_{\mathrm{Cs}^+} + R_{\mathrm{Cl}^-})}{\sqrt{3}} = \frac{2\,(0,170 + 0,181)}{1,732} \approx 0,405~\mathrm{nm}.

Passo 3

O fator de empacotamento é a razão entre o volume total das esferas iônicas na célula (um \mathrm{Cs}^+ e um \mathrm{Cl}^-) e o volume da célula a^3. Temos
V_{\text{íons}} = \frac{4}{3}\pi\Bigl(R_{\mathrm{Cs}^+}^3 + R_{\mathrm{Cl}^-}^3\Bigr), \quad V_{\text{célula}} = a^3.íé
Calculando numericamente:
R_{\mathrm{Cs}^+}^3 = (0,170)^3 \approx 0,00491,\quad R_{\mathrm{Cl}^-}^3 = (0,181)^3 \approx 0,00593,
V_{\text{íons}} \approx \frac{4}{3}\pi\,(0,00491+0,00593) \approx 0,0454~\mathrm{nm}^3, \quad a^3 \approx (0,405)^3 = 0,0664~\mathrm{nm}^3.í
Portanto, o packing factor é
\text{PF} = \frac{V_{\text{íons}}}{a^3} \approx \frac{0,0454}{0,0664} \approx 0,68\quad(\text{68\%}).í

Resposta

Parâmetro de rede: a \approx 0,405\,\mathrm{nm}
Fator de empacotamento: \text{PF} \approx 0,68 (68 %)

Exercícios relacionados