Determine o parâmetro de rede e o fator de empacotamento das seguintes estruturas:
Metal CS
Dados:
\mathrm{R}_{\mathrm{Na}^{+}}=0,102 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{Ba}^{+}}=0,136 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{cl}}=0,181 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{cs}^{+}}=0,170 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{Ti}^{+}}=0,068 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{o}}=0,140 \mathrm{~nm}

Passo 1

O enunciado pede o parâmetro de rede a e o fator de empacotamento de um metal em rede cúbica simples (CS), sabendo que o raio atômico do cátion metálico é \mathrm{R}_{\mathrm{Cs}^+}=0,170\\ \mathrm{nm}.

Passo 2

Em uma rede cúbica simples, cada átomo toca seus vizinhos ao longo da aresta do cubo, portanto
a = 2R \,,
onde R é o raio atômico.

Passo 3

Substituindo R=0,170\\ \mathrm{nm} obtemos
a = 2 \times 0,170\\ \mathrm{nm} = 0,340\\ \mathrm{nm}.

Passo 4

O fator de empacotamento ( \mathrm{PF}) é a razão entre o volume total ocupado pelos átomos na célula unitária e o volume da própria célula. Na cúbica simples há apenas um átomo por célula, logo
\mathrm{PF} =\frac{1\times \frac{4}{3}\pi R^3}{a^3} =\frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{(2R)^3} =\frac{\pi}{6}.

Passo 5

Numericamente,
\mathrm{PF}=\frac{\pi}{6}\approx0,524\quad(\text{ou }52{,}4\%).

Resposta

O parâmetro de rede é a = 0,340\\ \mathrm{nm} e o fator de empacotamento é \mathrm{PF}\approx0,524.

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