Determine os seguintes limites.
lim x +infty e^2 x3 x^2-4 x+2

Passo 1

O enunciado pede
limxto+inftye^2x3x^2-4x+2
O conteúdo principal aqui é o confronto de crescimento entre exponencial e polinômio, e vamos usar o critério da forma indeterminada tfracinftyinfty junto com a Regra de L’Hôpital para avaliar o limite.

Passo 2

Primeiro, observamos que, quando xto+infty, temos
e^2xto+infty e 3x^2-4x+2to+infty,
logo a expressão é da forma indeterminada tfracinftyinfty. Assim, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital pela primeira vez, derivamos numerador e denominador em relação a x:
ddxl(e^2xr)=2e^2x, ddxl(3x^2-4x+2r)=6x-4
Portanto o limite passa a ser
limxto+infty2e^2x6x-4,
que ainda é da forma tfracinftyinfty.

Passo 4

Reaplicando L’Hôpital pela segunda vez:
ddxl(2e^2xr)=4e^2x, ddxl(6x-4r)=6
Assim o limite torna-se
limxto+infty4e^2x6 =46,limxto+inftye^2x =23,limxto+inftye^2x

Passo 5

Como limxto+inftye^2x=+infty, concluímos que
23,limxto+inftye^2x=+infty

Resposta

+infty

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