Determine se os pares de funções abaixo são linearmente independentes ou linearmente dependentes na reta real.
f(x)=e^x sen x, g(x)=e^x cos x

Passo 1

O enunciado dá as funções
,f(x)=e^xsin x e ,g(x)=e^xcos x
e nos pede para verificar se elas são linearmente independentes ou dependentes em R. Para isso, vamos usar o critério do Wronskiano, que requer calcular as derivadas de f e g e montar
W(x)= f(x) & g(x) f'(x)& g'(x)

Passo 2

Primeiro, achamos as derivadas:
f'(x)=ddxl(e^xsin xr) =e^xsin x+e^xcos x =e^xl(sin x+cos xr),
g'(x)=ddxl(e^xcos xr) =e^xcos x - e^xsin x =e^xl(cos x-sin xr)

Passo 3

Agora calculamos o Wronskiano:
W(x) =f(x),g'(x)-f'(x),g(x) =e^xsin xcdot e^x(cos x-sin x) - e^x(sin x+cos x)cdot e^xcos x
Fatorando e^2x:
W(x)=e^2xl[sin x(cos x-sin x) -(sin x+cos x)cos xr]
Dentro dos colchetes se simplifica:
sin xcos x-sin^2 x -sin xcos x-cos^2 x =-(sin^2 x+cos^2 x)=-1
Logo
W(x)=-,e^2xneq 0forall xinR

Passo 4

Como o Wronskiano não se anula em nenhum ponto de R, concluímos que as funções não admitem combinação linear trivial além da óbvia, ou seja, são linearmente independentes em toda a reta real.

Resposta

As funções f(x)=e^xsin x e g(x)=e^xcos x são linearmente independentes em R.

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