Determine se os pares de funções abaixo são linearmente independentes ou linearmente dependentes na reta real.
Passo 1
O enunciado dá as funções e
e nos pede para verificar se elas são linearmente independentes ou dependentes em . Para isso, vamos usar o critério do Wronskiano, que requer calcular as derivadas de e e montar
Passo 2
Primeiro, achamos as derivadas:
f'(x)=ddxl(e^xsin xr) =e^xsin x+e^xcos x =e^xl(sin x+cos xr),
g'(x)=ddxl(e^xcos xr) =e^xcos x - e^xsin x =e^xl(cos x-sin xr)
sin xcos x-sin^2 x -sin xcos x-cos^2 x =-(sin^2 x+cos^2 x)=-1
Logo
W(x)=-,e^2xneq 0forall xinR
Passo 4
Como o Wronskiano não se anula em nenhum ponto de R, concluímos que as funções não admitem combinação linear trivial além da óbvia, ou seja, são linearmente independentes em toda a reta real.
Resposta
As funções f(x)=e^xsin x e g(x)=e^xcos x são linearmente independentes em R.