Determine os seguintes limites.
lim x 1 x^2+2 x-3x^3-x^2+x-1

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto1x^2+2x-3x^3-x^2+x-1
O conteúdo aqui é cálculo de limite de forma indeterminada do tipo 0/0. Para resolver, vamos usar fatoração de polinômios.

Passo 2

Vamos verificar a indeterminação substituindo x=1 em numerador e denominador:
Numerador:
1^2+2cdot1-3 = 1+2-3 = 0,
Denominador:
1^3-1^2+1-1 = 1-1+1-1 = 0
Logo temos a forma indeterminada 0/0.

Passo 3

Fatoramos numerador e denominador para cancelar o fator comum x-1.
Numerador:
x^2+2x-3 = (x-1)(x+3)
Denominador (por agrupamento):
x^3-x^2+x-1 = (x^3-x^2) + (x-1) = x^2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x^2+1)

Passo 4

Substituindo as fatorações no quociente e cancelando x-1, obtemos
x^2+2x-3x^3-x^2+x-1 =(x-1)(x+3)(x-1)(x^2+1) =x+3x^2+1
Agora o limite é imediato:
limxto1x+3x^2+1 =1+31^2+1 =42 =2

Resposta

2

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