Encontre os pontos críticos e o retrato de fase da equação da equação diferencial autônoma de primeira ordem dada. Classifique cada ponto crítico como assintoticamente estável, instável ou semiestável. Esboce à mão curvas integrais típicas nas regiōes do plano- x y determinadas pelos gráficos das soluções de equilibrio.
d yd x=(y-2)^4

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO autônoma de primeira ordem
dydx = (y-2)^4
O conteúdo aqui é análise de pontos de equilíbrio (ou críticos) de uma EDO autônoma e montagem do retrato de fase. Para resolver, vamos:
  1. Encontrar as soluções de equilíbrio resolvendo (y-2)^4=0.
  2. Estudar o sinal de (y-2)^4 em torno desses pontos para classificar estabilidade.
  3. Desenhar o retrato de fase (linha de fase em y) e, depois, esboçar curvas integrais típicas no plano xy.

Passo 2

Equilíbrio ocorre quando dydx=0, isto é
(y-2)^4=0 Longrightarrow y=2
Portanto há uma única reta horizontal de equilíbrio y(x)equiv2.

Passo 3

Para classificar a estabilidade, olhamos o sinal de f(y)=(y-2)^4:
  • Se yneq2, então (y-2)^4>0.
  • Logo, em ambos os lados de y=2, temos dydx>0.
Isto implica que, conforme x aumenta, y também aumenta em qualquer vizinhança de y=2.

Passo 4

De posse do sinal de , montamos a linha de fase (eixo ):
Todas as setas apontam para cima tanto para quanto para .
  • Para : setas apontam para cima → as soluções sobem em direção a quando cresce.
  • Para : setas também apontam para cima → as soluções sobem e se afastam de .

Passo 5

Conclusão sobre estabilidade do ponto crítico y=2:
  • Atrai soluções por baixo ( y<2).
  • Repele soluções por cima ( y>2).
    Isto caracteriza um ponto semiestável.

Passo 6

Esboço qualitativo das curvas integrais no plano xy:
  1. A solução de equilíbrio é a reta horizontal y(x)=2.
  2. Para condições iniciais y(x0)<2, as curvas sobem devagar (o coeficiente (y-2)^4 é pequeno perto de y=2) e tendem a y=2 quando xto+infty.
  3. Para condições iniciais y(x0)>2, as curvas sobem cada vez mais rápido e divergem para +infty em tempo finito.
Em um esboço à mão, traçamos:
  • A linha y=2 como solução estacionária.
  • Abaixo dela, curvas com inclinação leve que se aproximam de y=2 à medida que andamos para a direita.
  • Acima dela, curvas que partem da vizinhança de y=2 e sobem rapidamente.

Resposta

Ponto crítico: y=2.
Classificação: semiestável (estável por baixo e instável por cima).
Retrato de fase: setas para cima em todo yneq2.
Curvas integrais: retas horizontais em y=2; soluções com y<2 aproximando-se de y=2 para xto+infty; soluções com y>2 disparando para +infty.

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