Encontre os pontos críticos e o retrato de fase da equação da equação diferencial autônoma de primeira ordem dada. Classifique cada ponto crítico como assintoticamente estável, instável ou semiestável. Esboce à mão curvas integrais típicas nas regiōes do plano-
determinadas pelos gráficos das soluções de equilibrio.
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO autônoma de primeira ordem
O conteúdo aqui é análise de pontos de equilíbrio (ou críticos) de uma EDO autônoma e montagem do retrato de fase. Para resolver, vamos:
- Encontrar as soluções de equilíbrio resolvendo
. - Estudar o sinal de
em torno desses pontos para classificar estabilidade. - Desenhar o retrato de fase (linha de fase em
) e, depois, esboçar curvas integrais típicas no plano .
Passo 2
Equilíbrio ocorre quando
, isto é
Portanto há uma única reta horizontal de equilíbrio
.
Passo 3
Para classificar a estabilidade, olhamos o sinal de
:
- Se
, então . - Logo, em ambos os lados de
, temos .
Isto implica que, conforme
aumenta,
também aumenta em qualquer vizinhança de
.
Passo 4
De posse do sinal de
, montamos a linha de fase (eixo
):
Todas as setas apontam para cima tanto para
quanto para
.
- Para
: setas apontam para cima → as soluções sobem em direção a quando cresce. - Para
: setas também apontam para cima → as soluções sobem e se afastam de .
Passo 5
Conclusão sobre estabilidade do ponto crítico
:
- Atrai soluções por baixo (
). - Repele soluções por cima (
).
Isto caracteriza um ponto semiestável.
Passo 6
Esboço qualitativo das curvas integrais no plano
:
- A solução de equilíbrio é a reta horizontal
. - Para condições iniciais
, as curvas sobem devagar (o coeficiente é pequeno perto de ) e tendem a quando . - Para condições iniciais
, as curvas sobem cada vez mais rápido e divergem para em tempo finito.
Em um esboço à mão, traçamos:
- A linha
como solução estacionária. - Abaixo dela, curvas com inclinação leve que se aproximam de
à medida que andamos para a direita. - Acima dela, curvas que partem da vizinhança de
e sobem rapidamente.
Resposta
Ponto crítico:
.
Classificação: semiestável (estável por baixo e instável por cima).
Retrato de fase: setas para cima em todo .
Curvas integrais: retas horizontais em ; soluções com
aproximando-se de
para
; soluções com
disparando para
.
Classificação: semiestável (estável por baixo e instável por cima).
Retrato de fase: setas para cima em todo
Curvas integrais: retas horizontais em