Determine se os pares de funções abaixo são linearmente independentes ou linearmente dependentes na reta real.
f(x)=pi, g(x)=cos ^2 x+sen^2 x

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos as funções f(x)=pi e g(x)=cos^2 x + sin^2 x definidas em R. O conteúdo é independência linear de funções, que exige verificar se existe combinação linear não trivial que anule as duas simultaneamente.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica de Pitágoras: para todo x vale
g(x)=cos^2 x + sin^2 x = 1

Passo 3

Observamos que f(x)=pi também é constante. Logo ambas as funções são constantes: f(x)=pi e g(x)=1.

Passo 4

Se duas funções constantes estão relacionadas por f(x)=pi,g(x), então existe combinação linear não trivial que anula, por exemplo
1cdot f(x)-picdot g(x)=0forall x
Isso mostra dependência linear.

Resposta

As funções são linearmente dependentes.

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