Determine se cada uma das seguintes sequências converge ou diverge. Caso ela convirja, determine seu limite. Justifique sua resposta!
n^3n^2+5.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = n^3n^2+5
e pede para determinar se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, seu limite. O conteúdo aqui é cálculo de limite de sequência racional de polinômios. Para resolver, vamos usar a técnica de comparar os graus dos polinômios no numerador e no denominador e, em particular, dividir numerador e denominador pela maior potência de n que aparece no denominador.

Passo 2

Reescrevemos an dividindo numerador e denominador por n^2, que é a maior potência presente no denominador:
an = n^3n^2+5 = n^3 / n^2(n^2+5)/n^2 = n1 + dfrac5n^2
Agora analisamos o comportamento de cada termo quando ntoinfty:
  • dfrac5n^2to 0.
    Logo,
an = n1 + dfrac5n^2 sim n1+0 = n

Passo 3

Como ntoinfty, ansim n e, portanto, antoinfty. Isso significa que a sequência não se aproxima de um número finito, mas cresce sem limite.

Resposta

A sequência diverge para +infty.

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