Determine se cada uma das seguintes sequências converge ou diverge. Caso ela convirja, determine seu limite. Justifique sua resposta!
.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
e pede para determinar se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, seu limite. O conteúdo aqui é cálculo de limite de sequência racional de polinômios. Para resolver, vamos usar a técnica de comparar os graus dos polinômios no numerador e no denominador e, em particular, dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece no denominador.
Passo 2
Reescrevemos
dividindo numerador e denominador por
, que é a maior potência presente no denominador:
Agora analisamos o comportamento de cada termo quando
:
-
.
Logo,
Passo 3
Como
,
e, portanto,
. Isso significa que a sequência não se aproxima de um número finito, mas cresce sem limite.
Resposta
A sequência diverge para
.