Exercício 1. (4,0 Pontos) Considere a função
.
(a) Calcule a derivada de
;
(b) Determine uma equação para a reta tangente ao gráfico de
no ponto
;
(c) Determine os pontos críticos;
(d) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(e) Determine os valores máximos e mínimos locais de
, caso existam;
(f) Determine os valores máximo e mínimo de
no intervalo
.
(a) Calcule a derivada de
(b) Determine uma equação para a reta tangente ao gráfico de
(c) Determine os pontos críticos;
(d) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(e) Determine os valores máximos e mínimos locais de
(f) Determine os valores máximo e mínimo de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
(a) a derivada ;
(b) a reta tangente em ;
(c) os pontos críticos;
(d) os intervalos de crescimento e decrescimento;
(e) os extremos locais;
(f) os extremos absoluto em .
(a) a derivada
(b) a reta tangente em
(c) os pontos críticos;
(d) os intervalos de crescimento e decrescimento;
(e) os extremos locais;
(f) os extremos absoluto em
Passo 2
Para achar a derivada aplicamos a regra do poder em cada termo:
Logo, em display,
Passo 3
Para a reta tangente em
precisamos de
e de
.
Calculando
Calculando
A equação ponto-inclinação é
ou seja, em display,
Passo 4
Pontos críticos são soluções de
. Resolvendo
vem
e
. Os pontos no gráfico são
Passo 5
Para o sinal de
:
- Se
, ⇒ . - Se
, ⇒ . - Se
, ⇒ .
Portanto,é crescente em e decrescente em .
Passo 6
Pelo critério da primeira derivada:
- Em
a função passa de crescente para decrescente ⇒ máximo local em . - Em
a função passa de decrescente para crescente ⇒ mínimo local em .
Passo 7
Para os extremos absolutos em
calculamos também nos extremos do intervalo:
Comparando com
e
, o máximo absoluto é
em
e o mínimo absoluto é
em
.
Resposta
(a)
(b)
(c) Pontos críticos em e
(d) Crescente em , decrescente em
(e) Máximo local em , mínimo local em
(f) Máximo absoluto , mínimo absoluto
(b)
(c) Pontos críticos em
(d) Crescente em
(e) Máximo local em
(f) Máximo absoluto