Exercício 1. (4,0 Pontos) Considere a função f(x)=x^{3}-6 x^{2}+5.
(a) Calcule a derivada de f(x);
(b) Determine uma equação para a reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto (1,0);
(c) Determine os pontos críticos;
(d) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(e) Determine os valores máximos e mínimos locais de f(x), caso existam;
(f) Determine os valores máximo e mínimo de f(x) no intervalo [-3,5].

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3}-6x^{2}+5
e pede:
(a) a derivada f'(x);
(b) a reta tangente em (1,0);
(c) os pontos críticos;
(d) os intervalos de crescimento e decrescimento;
(e) os extremos locais;
(f) os extremos absoluto em [-3,5].

Passo 2

Para achar a derivada aplicamos a regra do poder em cada termo:
\frac{d}{dx}[x^{3}]=3x^{2}, \quad \frac{d}{dx}[-6x^{2}]=-12x, \quad \frac{d}{dx}[5]=0.
Logo, em display,
f'(x)=3x^{2}-12x.

Passo 3

Para a reta tangente em x=1 precisamos de m=f'(1) e de f(1).
Calculando
f'(1)=3\cdot1^{2}-12\cdot1=3-12=-9, \quad f(1)=1^{3}-6\cdot1^{2}+5=1-6+5=0.
A equação ponto-inclinação é
y-0=-9\,(x-1),
ou seja, em display,
y=-9x+9.

Passo 4

Pontos críticos são soluções de f'(x)=0. Resolvendo
3x^{2}-12x=3x(x-4)=0
vem x=0 e x=4. Os pontos no gráfico são
(0,f(0))=(0,5), \quad (4,f(4))=\bigl(4,-27\bigr).

Passo 5

Para o sinal de f'(x)=3x(x-4):
  • Se x<0, x(x-4)>0 f'(x)>0.
  • Se 0<x<4, x(x-4)<0 f'(x)<0.
  • Se x>4, x(x-4)>0 f'(x)>0.
    Portanto, f é crescente em (-\infty,0)\cup(4,\infty) e decrescente em (0,4).

Passo 6

Pelo critério da primeira derivada:
  • Em x=0 a função passa de crescente para decrescente ⇒ máximo local em (0,5).
  • Em x=4 a função passa de decrescente para crescente ⇒ mínimo local em \bigl(4,-27\bigr).

Passo 7

Para os extremos absolutos em [-3,5] calculamos também nos extremos do intervalo:
f(-3)=(-3)^{3}-6(-3)^{2}+5=-27-54+5=-76, \quad f(5)=5^{3}-6\cdot5^{2}+5=125-150+5=-20.
Comparando com f(0)=5 e f(4)=-27, o máximo absoluto é 5 em x=0 e o mínimo absoluto é -76 em x=-3.

Resposta

(a) f'(x)=3x^{2}-12x
(b) y=-9x+9
(c) Pontos críticos em (0,5) e \bigl(4,-27\bigr)
(d) Crescente em (-\infty,0)\cup(4,\infty), decrescente em (0,4)
(e) Máximo local em (0,5), mínimo local em \bigl(4,-27\bigr)
(f) Máximo absoluto f(0)=5, mínimo absoluto f(-3)=-76

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