Determine quais dos pares de funções dadas são linearmente independentes nos intervalos indicados.
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Passo 1
Estamos examinando o par de funções f(t)=t e g(t)=|t| definido em ℝ{0}, e queremos testar se elas são linearmente independentes nesse domínio. Vamos usar o conceito de combinação linear.
Passo 2
Funções f e g são linearmente independentes se a única solução da combinação a⋅f(t)+b⋅g(t)=0 para todo t≠0 é a=b=0. Então suponha constantes a e b tais que a⋅t + b⋅|t| = 0 para todo t≠0.
Passo 3
Para t>0 temos |t|=t, então a⋅t + b⋅t = (a+b)⋅t = 0 para todo t>0. Como t≠0, segue que a+b=0.
Passo 4
Para t<0 temos |t|=−t, então a⋅t + b⋅(−t) = (a−b)⋅t = 0 para todo t<0. Como t≠0, segue que a−b=0.
Passo 5
O sistema formado por a+b=0 e a−b=0 leva a a=b=0, ou seja, a única combinação linear nula é trivial. Portanto f e g são linearmente independentes em ℝ{0}.
Resposta
As funções f(t)=t e g(t)=|t| são linearmente independentes em ℝ{0}.